Математическая индукция.

[ewert]

TR63 в сообщении #545490 писал(а):

А, если границу найти другим способом, например, так $\sqrt{c+{\sqrt{x}}}=x$

Можно пытаться искать вообще очень многими способами. Например, как $x=\tg x$. Или как $\int\limits_0^xe^{-\frac{t^2}2}dt=\dfrac{J_3(\sin x)}{5x+7}$. Или вообще как угодно.

Но в этой конкретной задачке последовательность откровенно задаётся рекуррентным соотношением $x_{n+1}=\sqrt{c+x_n}$. И, если (конечный) предел этой последовательности существует, то он не может быть ничем иным, кроме как корнем уравнения $x=\sqrt{c+x}$.

[TR63]

В способе, который предлагаю я, если брать 0<x<1, граница легко вычисляется и $x_n<max(x;\sqrt{c+x}$). Т.е. в данном случае (x)-это число, определяемое не так как в первом случае (его лучше обозначить через (y)); оно является корнем совсем другого уравнения. И тогда новая граница получается меньше той, которая должна быть. Если данные рассуждения, вообще, корректны, то можно проделать вычисления. У меня получается, что существует "плохая" комбинация (c; y).

-- 05.03.2012, 18:48 --

Хочу пояснить, как я вычисляю границу: я учитываю, что x<$\sqrt{x}$. (x) и ($\sqrt{x}$) поочерёдно меняются местами, не нарушая знака исходного неравенства.

-- 05.03.2012, 19:02 --

Да, ewert, дело в том, что, если предел сущесвует. Это важно. Но в книге сказано, что он существует.

[ewert]

Предел (если он вообще существует) заранее известен: это точка, в которой $x=\sqrt{c+x}$. Теперь просто нарисуйте общий график левой части и (на его фоне) график правой. Сразу же станет очевидным, возможен ли предел и с каких конкретно начальных точек возможен, а с каких нет

[Doil-byle]

(Оффтоп)

На самом деле аксиому индукции можно спокойненько заменить на более простое утверждение: "В любом подмн-ве натуральных чисел найдётся наименьшее натуральное число". И получится аксиоматика, эквивалентная аксиоматике Пеано, так как индукцию можно будет уже доказать, как теорему, а с теоремой не поспоришь

[TR63]

Последовательность задаётся рекурентным соотношением $x_{n+1}=\sqrt{x_n+1}$, где $x_1=\sqrt{c}$. Было выяснено, что она монотонна, ограничена, следовательно, однозначно должна иметь единственный предел, который находится из уравнения $x=\sqrt{c+x}$. Кроме того, было выяснено, что различными способами могут быть предложены для нахождения числа, ограничивающие данную последовательность сверху. Но не все из них просто найти. В способе, предложенным мною, верхняя грань (y) находится из уравнения $y=\sqrt{c+\sqrt{y}}$, где 0<y<1. Я говорю, что, решив это уравнение, можно найти пару (c;y) такую, что y<x. Такого не может быть. Но оно есть. Графическое решение этого вопроса, помоему, сложнее алгебраического.

[TR63]

TR63 в сообщении #545807 писал(а):

Я говорю, что, решив это уравнение, можно найти пару (c;y) такую, что y<x.

Следует сделать исправление(опечатка): верхняя грань последовательности { ${x_n}$ }ВГ=max(y;$\sqrt{c+\sqrt{y}}$)<x.

[TR63]

TR63 в сообщении #545836 писал(а):

TR63 в сообщении #545807 писал(а):

Я говорю, что, решив это уравнение, можно найти пару (c;y) такую, что y<x.

Следует сделать исправление(опечатка): верхняя грань последовательности { ${x_n}$ }ВГ=max(y;$\sqrt{c+y}$)<x.

-- 06.03.2012, 22:17 --

Ошибку в своих алгебраических вычислениях нашла.

[Guliashik]

(Оффтоп)

Извиняюсь, за несоздание новой темы, поясните пожалуйста, выделенный момент? Никак не могу понять почему |x|>1? Ищем же предел функции при x->0.

[AV_77]

Там, конечно, $|x| < 1$, опечатка.