2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение05.03.2012, 16:35 
Заслуженный участник


11/05/08
31587
TR63 в сообщении #545490 писал(а):
А, если границу найти другим способом, например, так $\sqrt{c+{\sqrt{x}}}=x$

Можно пытаться искать вообще очень многими способами. Например, как $x=\tg x$. Или как $\int\limits_0^xe^{-\frac{t^2}2}dt=\dfrac{J_3(\sin x)}{5x+7}$. Или вообще как угодно.

Но в этой конкретной задачке последовательность откровенно задаётся рекуррентным соотношением $x_{n+1}=\sqrt{c+x_n}$. И, если (конечный) предел этой последовательности существует, то он не может быть ничем иным, кроме как корнем уравнения $x=\sqrt{c+x}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение05.03.2012, 17:27 


03/03/12
1138
В способе, который предлагаю я, если брать 0<x<1, граница легко вычисляется и $x_n<max(x;\sqrt{c+x}$). Т.е. в данном случае (x)-это число, определяемое не так как в первом случае (его лучше обозначить через (y)); оно является корнем совсем другого уравнения. И тогда новая граница получается меньше той, которая должна быть. Если данные рассуждения, вообще, корректны, то можно проделать вычисления. У меня получается, что существует "плохая" комбинация (c; y).

-- 05.03.2012, 18:48 --

Хочу пояснить, как я вычисляю границу: я учитываю, что x<$\sqrt{x}$. (x) и ($\sqrt{x}$) поочерёдно меняются местами, не нарушая знака исходного неравенства.

-- 05.03.2012, 19:02 --

Да, ewert, дело в том, что, если предел сущесвует. Это важно. Но в книге сказано, что он существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение05.03.2012, 18:20 
Заслуженный участник


11/05/08
31587
Предел (если он вообще существует) заранее известен: это точка, в которой $x=\sqrt{c+x}$. Теперь просто нарисуйте общий график левой части и (на его фоне) график правой. Сразу же станет очевидным, возможен ли предел и с каких конкретно начальных точек возможен, а с каких нет

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение05.03.2012, 20:14 


05/09/11
364
Петербург

(Оффтоп)

На самом деле аксиому индукции можно спокойненько заменить на более простое утверждение: "В любом подмн-ве натуральных чисел найдётся наименьшее натуральное число". И получится аксиоматика, эквивалентная аксиоматике Пеано, так как индукцию можно будет уже доказать, как теорему, а с теоремой не поспоришь :!:

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение06.03.2012, 14:11 


03/03/12
1138
Последовательность задаётся рекурентным соотношением $x_{n+1}=\sqrt{x_n+1}$, где $x_1=\sqrt{c}$. Было выяснено, что она монотонна, ограничена, следовательно, однозначно должна иметь единственный предел, который находится из уравнения $x=\sqrt{c+x}$. Кроме того, было выяснено, что различными способами могут быть предложены для нахождения числа, ограничивающие данную последовательность сверху. Но не все из них просто найти. В способе, предложенным мною, верхняя грань (y) находится из уравнения $y=\sqrt{c+\sqrt{y}}$, где 0<y<1. Я говорю, что, решив это уравнение, можно найти пару (c;y) такую, что y<x. Такого не может быть. Но оно есть. Графическое решение этого вопроса, помоему, сложнее алгебраического.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение06.03.2012, 16:56 


03/03/12
1138
TR63 в сообщении #545807 писал(а):
Я говорю, что, решив это уравнение, можно найти пару (c;y) такую, что y<x.


Следует сделать исправление(опечатка): верхняя грань последовательности { ${x_n}$ }ВГ=max(y;$\sqrt{c+\sqrt{y}}$)<x.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение06.03.2012, 20:34 


03/03/12
1138
TR63 в сообщении #545836 писал(а):
TR63 в сообщении #545807 писал(а):
Я говорю, что, решив это уравнение, можно найти пару (c;y) такую, что y<x.


Следует сделать исправление(опечатка): верхняя грань последовательности { ${x_n}$ }ВГ=max(y;$\sqrt{c+y}$)<x.


-- 06.03.2012, 22:17 --

Ошибку в своих алгебраических вычислениях нашла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение10.03.2012, 22:13 


26/08/11
120

(Оффтоп)

Изображение
Извиняюсь, за несоздание новой темы, поясните пожалуйста, выделенный момент? Никак не могу понять почему |x|>1? Ищем же предел функции при x->0.

 Профиль  
                  
 
 Re: Математическая индукция.
Сообщение10.03.2012, 22:16 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Там, конечно, $|x| < 1$, опечатка.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group