Геометрический смысл равномерной непрерывности

[Koperfild]

Нигде про равномерную непрерывность кроме формулировки не видел. У меня такой вопрос- является ли следствием равномерной непрерывности отсутствие вертикальных ассимптот на интевале (a,b). Хотя, наверное, это следствие ограниченности непрерывной и равномерно непрерывной функции. Из чего следует ограниченность равномерно непрерывной функции?
Вопрос мб и глупый, но с чего-то надо начинать.

[ewert]

Koperfild в сообщении #546856 писал(а):

Вопрос мб и глупый, но с чего-то надо начинать.

С чтения учебника. Там совсем другая последовательность теорем: из непрерывности следует ограниченность, и из непрерывности следует равномерная непрерывность, причём доказательства этих двух утверждений никак друг с другом не связаны.

[wallflower]

Да, если будет вертикальная асимптота, то условие равномерной непрерывности, очевидно, не сможет быть выполнено: какую бы маленькую окрестность аргумента мы не выбирали, по мере приближения к асимптоте, её образ рано или поздно станет слишком большой.

Koperfild в сообщении #546856 писал(а):

Из чего следует ограниченность равномерно непрерывной функции?

Не из чего. Функция $f(x)=x$ равномерно непрерывна на $\mathbb R$, но не ограничена.

[ewert]

wallflower в сообщении #546863 писал(а):

условие равномерной непрерывности, очевидно, не сможет быть выполнено: какую бы маленькую окрестность аргумента мы не выбирали, по мере приближения к асимптоте, её образ рано или поздно станет слишком большой.

А при чём тут именно равномерная непрерывность?

[wallflower]

Притом, что, например, $f(x)=1/x$ на $(0,1)$ непрерывна, но не равномерно. Причина -- вертикальная асимптота в $0$.

[ewert]

А, я не обратил внимания, что на интервале -- на нём равномерную непрерывность рассматривать как-то не принято. На интервале (т.е. в окрестности концов) -- да, действительно из равномерной непрерывности. Только вот это:

wallflower в сообщении #546863 писал(а):

какую бы маленькую окрестность аргумента мы не выбирали, по мере приближения к асимптоте, её образ рано или поздно станет слишком большой.

-- всё равно не доказательство: что за аргумент?... и где тут вообще используется именно равномерность непрерывности?...

[wallflower]

ewert в сообщении #546883 писал(а):

-- всё равно не доказательство

Это и не было заявлено как доказательство.

ewert в сообщении #546883 писал(а):

что за аргумент?

Ничего конкретного тут не подразумевалось. Берём интервальчик маленькой длины, двигаем его к асимптоте и смотрим как растёт её образ.

ewert в сообщении #546883 писал(а):

и где тут вообще используется именно равномерность непрерывности?...

Я же привёл пример, где обычная непрерывность не нарушается.

[Koperfild]

ewert в сообщении #546862 писал(а):

Koperfild в сообщении #546856 писал(а):

Вопрос мб и глупый, но с чего-то надо начинать.

С чтения учебника. Там совсем другая последовательность теорем: из непрерывности следует ограниченность, и из непрерывности следует равномерная непрерывность, причём доказательства этих двух утверждений никак друг с другом не связаны.

Ну в демидовиче ряд задач с интервалами а не отрезками. А теорема кантора только для отрезков, поэтому и спрашиваю. Получается что ограниченность равномерно непрерывной функции следует не из непрерывности а видимо из своей формулировки.

[ewert]

Koperfild в сообщении #546927 писал(а):

Получается что ограниченность равномерно непрерывной функции следует не из непрерывности а видимо из своей формулировки.

Для интервала (конечного, естественно) -- да. Для отрезка же ограниченность непрерывной функции -- факт более простой, чем теорема Кантора (хотя и та не очень сложна).