А, я не обратил внимания, что на интервале -- на нём равномерную непрерывность рассматривать как-то не принято. На интервале (т.е. в окрестности концов) -- да, действительно из равномерной непрерывности. Только вот это:
какую бы маленькую окрестность аргумента мы не выбирали, по мере приближения к асимптоте, её образ рано или поздно станет слишком большой.
-- всё равно не доказательство: что за аргумент?... и где тут вообще используется именно равномерность непрерывности?...