Задание с параметром

[Twidobik]

Нужно найти все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции $f\left( x \right) = 2ax + \left| {{x^2} - 8x + 7} \right|$
больше 1.

Иными словами, при каких а неравенство $\left| {{x^2} - 8x + 7} \right|>1 - 2ax$ выполняется при любых Х.

Я строю график правой и левой части, показываю, когда прямая меньше параболы. Чтобы найти одно из $a$, приравниваю ${x^2} - 8x + 7 = 1 - 2ax$ и получаю два корня: $4 + \sqrt 6 $ и $4 - \sqrt 6 $. Логически ясно, что только первый подходит. Но почему второй не удовлетворяет и как это объяснить?

[nnosipov]

Twidobik в сообщении #546668 писал(а):

Но почему второй не удовлетворяет и как это объяснить?

А почему Вы считаете, что второй не удовлетворяет? Проверьте, с ним всё в порядке.

А совет такой: попробуйте вычислить (выразить через $a$) минимум функции $f(x)$.

[Twidobik]

Да, неверно поставил вопрос. Первое значение параметра $ \frac{1}{2}$. Я имел ввиду, почему в ответ мы берем промежуток $\left( {\frac{1}{2};4 + \sqrt 6 } \right)$, а не $\left( {\frac{1}{2};4 - \sqrt 6 } \right)$.

Ведь точками минимума и будут корни подмодульного трехчлена...или я не так понял?

Ой, ну да, тогда минимум функции $2a$ и $14a$. Но почему в ответ мы первый промежуток берем, пока не дошло

[nnosipov]

Twidobik в сообщении #546678 писал(а):

Ведь точками минимума и будут корни подмодульного трехчлена...или я не так понял?

Не только. Иначе откуда бы взялись эти загадочные $4 \pm \sqrt{6}$.

[мат-ламер]

(Оффтоп)

То что написано - ничего не понял. Но

Имеем сломанную параболу и прямую, которую можно крутить (сами догадайтесь - вокруг какой точки). Будем крутить прямую до столкновения с этой лом. параболой. Если прямую крутануть в одну сторону - то она столкнётся с ломанной параболой в точке излома. Это будет одна граница для параметра. Если крутануть в другую сторону, то она будет касаться параболы в одной точке. Значит надо найти такое значение параметра, при котором то уравнение, которое у Вас в предпоследней строчке первого поста, имеет одно решение. Это будет вторая граница для параметра.

[Twidobik]

Вот, с "крутануть" сразу все ясно стало
Это как раз я понимаю отчетливо и хорошо. Мы решаем уравнение (которое у меня в предпоследней строчке первого поста), чтобы найти значение второй границы для параметра. Дискриминант приравниваем к нулю и получаем два корня. Но как узнать, какой из полученных корней будет являться этой границей для параметра? Просто выбираем больший?

[мат-ламер]

Twidobik в сообщении #546687 писал(а):

Но как узнать, какой из полученных корней будет являться этой границей для параметра? Просто выбираем больший?

При каком-то значении параметра $a$ будет один корень уравнения, что означает касание прямой и параболы.

[nnosipov]

Twidobik в сообщении #546687 писал(а):

Но как узнать, какой из полученных корней будет являться этой границей для параметра? Просто выбираем больший?

Ну, тогда уж картинку нарисуйте и, глядя на неё, сообразите. (Рекомендую, однако, попробовать и мой способ, здесь никакие картинки не нужны.)

[мат-ламер]

nnosipov в сообщении #546675 писал(а):

А совет такой: попробуйте вычислить (выразить через $a$) минимум функции $f(x)$.

Функция негладкая и невыпуклая. Если негладкость можно побороть с помощью субдифференциалов, то для борьбы с невыпуклостью надо привлечь обобщённые производные по Кларку. (Тут я не в курсе). Руководствуясь геометрической интуицией достаточно и субдифференциалов.

(Оффтоп)

Сей пост серъёзно не воспринимайте.

[bot]

Twidobik в сообщении #546687 писал(а):

Дискриминант приравниваем к нулю и получаем два корня. Но как узнать ... Просто выбираем больший?

Этим корням соответствуют две касательные к параболе. А параболы то и нет - есть её кусочки. Поэтому одна из касательных - фантом. Какая именно, очевидно из картинки. Неверующие могут убедиться прямым вычислением точек касания - фантомом является та, у которой абсцисса касания положительна.

Если убрать модуль из условия то в ответе получится интервал от меньшего корня до большего.

[nnosipov]

мат-ламер в сообщении #546695 писал(а):

Функция негладкая и невыпуклая.

К счастью, она непрерывна. Просто заметим, что $\min{f(x)}=\min{\{f(1),f(7),f(4-a)\}}$. Ну а дальше как-то совсем очевидно.

[Twidobik]

Все, из Ваших объяснений стало все ясно! Спасибо Всем большое!

[ewert]

nnosipov в сообщении #546752 писал(а):

К счастью, она непрерывна. Просто заметим, что $\min{f(x)}=\min{\{f(1),f(7),f(4-a)\}}$.

(Оффтоп)

Здесь как раз соображения гладкости и используются -- только непрерывности недостаточно. С другой стороны, непрерывность и не обязательна.

Кстати, надо добавить в проверку ещё и $f(4+a)$. Раз уж мы собираемся ограничиться только проверкой.

[Twidobik]

Ну это уже немного другой метод, тут можно и без графика тогда. Наверно.

[vodilasss]

тут смотрели http://progydaj.u-gu.ru/ ???