Вопрос про идеал

[Joker_vD]

Да, именно так. Вопрос не совсем понял — если $A\cong X,B\cong Y$, то $A\times B\cong X\times Y$, вы это спрашивали?

[Unconnected]

Как бы не совсем.. $R \cong A \times B, C \cong A, D \cong B$, и из этого следует, что $R \cong C \times D$ ?

[Joker_vD]

$$(C\cong A)\wedge(D\cong B)\wedge(R\cong A\times B)\to(C\times D\cong A\times B)\wedge(R\cong A\times B)\to R\cong C\times D.$$

[Unconnected]

Ага, примерно понятно..
Ещё про изоморфность, китайская теорема: если $a=q_1,...,q_n$, где $q_i$ взаимно просты, то $R/_{<a>} \cong R/_{<q_1>} \times ... \times R/_{<q_n>}$. Как тут можно представить наглядно изоморфизм, т.е. как элемент из $R/_{a}$ можно однозначно представить элементом произведения колец, т.е. какой тут изоморфизм? (просто доказательство понял)

[AV_77]

Например $n = 3 \cdot 5 \cdot 7$. Тогда $[20]_n = ([20]_3, [20]_5, [20]_7)$.

[Unconnected]

А если $n=3 \cdot 6 \cdot 7$ , получается так уже нельзя изоморфизм сделать? Почему?

[AV_77]

Потому, что кольца $\mathbb{Z}_{3 \cdot 6 \cdot 7}$ и $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_7$ не изоморфны.

[Unconnected]

Ну даа, а вот можно пример, какие элементы в данном случае портят инъекцию-сюрьекцию?

[AV_77]

Например $(1, 0, 0)$ и $(0, 2, 0)$ - оба третьего порядка. Аддитивная группа кольца $\mathbb{Z}_{3 \cdot 6 \cdot 7}$ циклическая и содержит всего 2 элемента 3-го порядка, а у кольца $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_6 \times \mathbb{Z}_7$ и элементов 3-го порядка больше 2.

[Unconnected]

Ну да.. можно ещё вопрос, тут говорится, что в фактор-кольце по идеалу, образованному простым элементом, все идеалы в виде цепочки.. и, мол, пример в $Z_{8}$, все его идеалы это $<0>,<4>,<2>$. Но, позвольте, а разве нет идеала $<3>$? Да, он пересекается с остальными, ну и что..

[AV_77]

В $\mathbb{Z}_8$ еще есть идеал $(1) = (3) = (5) = (7)$, то есть все кольцо.

[Unconnected]

А как доказать, что остальные идеалы $Z$ попадают в один идеал в Z$/_{<p>}$?

[AV_77]

Не очень понимаю, что вы хотите доказать. Что значит "идеалы в $\mathbb{Z}$ попадают в один идеал в $\mathbb{Z}_p$"?

[Unconnected]

Ну, допустим факторизуем $Z$ по $<p^x>$, при этом идеалы $<0>,<p^{1}>,...,<p^{x-1}>$ образуют после факторизации тоже идеалы, причем вложенные цепью друг в друга. Ну а остальные идеалы из Z после факторизации, получается, попадают в $<1>$.. нет?

[AV_77]

Нет, конечно. Если $a = c p^t$ и $\gcd(c, p) = 1$, то в $\mathbb{Z}_{p^x}$ идеалы $(a)$ и $(p^t)$ совпадают.