Доказать, или показать на примере, что:

[Sonic86]

Я не понимаю, что Вы хотите сказать, когда пишите на естественном языке.
Вот например:

Апис в сообщении #546242 писал(а):

рост величины средего пробела бесконечен, но не превысит единицы

- это чистое противоречие.
Пишите формулами что-ли?

[Апис]

Рост величины среднего пробела$\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} $

[nnosipov]

Апис, когда Вы пишите вот эту штуку $\prod\limits_{i = 1}^\infty {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}}$, Вы понимаете, что она означает?

[Апис]

Понимаю оформление хромает

[nnosipov]

Апис в сообщении #546250 писал(а):

Рост величины среднего пробела$\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} $

Возможно, Вас интересует поведение этой разности при $n \to \infty$. Если так, то

$$ \lim_{n \to \infty} \left(\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}}\right)=0. $$

В частности, при всех достаточно больших $n$ эта разность будет меньше $1$.

[Апис]

Нет это не интересно, разница между средними пробелами от двух соседних простых чисел равна нулю при (n) стремящейся к бесконечности. Это не верно, разница стремится к нулю, но жёсткое равенство невозможно.

[nnosipov]

Апис в сообщении #546271 писал(а):

Нет это не интересно

Ладно, но других разумных гипотез о том, что же именно Вас интересует, у меня нет. Думаю, самое главное для Вас --- это суметь на нормальном русском языке выразить свои мысли.

[Sonic86]

Апис в сообщении #546250 писал(а):

величины среднего пробела$\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} $

Я, кстати, еще не понимаю, почему это некий средний пробел. Где тут усреднение? Пробел между чем?

(Оффтоп)

В общем - это все еще с 5-й страницы тянется что-ли... Я понимаю, что иногда есть что сказать, но при отсутствии техники слова формулируется не сразу. Но мы с 5-й страницы вроде как в этом плане так и не продвинулись никуда

[Апис]

Для Sonic86
Продолжение дискуссии.
Сразу предупреждаю, ясности в моём изложении не прибавилось. Извините.

Актуальная бесконечность (определение).
Актуальная бесконечность, это некое целое число, (k) которое обладает следующими свойствами
Число (k), растёт по величине. До каких значений неопределимо. Но есть предел роста этому числу, хотя и этот предел, как некое конкретное число, неопределим.
Эти три условия обозначают актуальную бесконечность.
Последнее условие определяет существование актуальной бесконечности.
Например:
Актуальная бесконечность, это целое число (k) при котором, при любом (n)
$\frac{n}{{k \cdot \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i} - 1}}{{{p_i}}}} }} < {p_n}$
Что бы доказать, есть предел роста числа (k) $const = k = \left[ {\prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} } \right]$ Достаточно доказать $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} $ Это вы доказали, но не ответили на вопрос о правомерности сравнения формул.
Определение $\infty = k$ противоречит теории множеств. Так же противоречит и теории гросс единицы, да и просто противоречит определению бесконечности как, бесконечному количеству элементов.
И говорить о мощности множества в нашем случае не приходится, это не количество элементов. Это предел роста величины числа (k). И этот предел неопределим. Хотя он и существует.
Что даёт нового, определение актуальной бесконечности?
Не оконченная дискуссия на пятой странице, будет иметь следующее продолжение:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\prod\limits_{i = 1}^{n + 1} {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}} - \prod\limits_{i = 1}^n {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} } } \right) = 0$ Это равенство неверно, потому что стремление к бесконечности и достижение бесконечности, это не одно и то же. $\left( { \to = } \right)$ Эти два знака не тождественны.
А вот новое равенство, где число (k) представляет собой актуальную бесконечность, верно:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to k} \left( {\prod\limits_{i = 1}^{k + 1} {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}} - \prod\limits_{i = 1}^k {\frac{{{p_i}}}{{{p_i} - 1}}} } } \right) = 0$ Отсюда следует ${p_k} = {p_{k + 1}}$ что означает, что с номера простого числа (k). После простого числа (p_k), нет простых чисел. Не в том смысле, конечно, что их вообще нет, нет их количество бесконечно. После номера (k) пробел между простыми числами равен бесконечности, числу (k).
Напомню. Число (k) растёт по величине. Но есть предел роста этому числу. И этот предел, как некое конкретное число, неопределим. Хотя он и существует.
И всё-таки я прав, как бы и кто бы, не стремился к бесконечности всегда
$..... < {p_{k - 2}} < {p_{k - 1}} < {p_k}$

[Sonic86]

Апис в сообщении #546864 писал(а):

Сразу предупреждаю, ясности в моём изложении не прибавилось. Извините.

Я все-таки буду бороться за ясность

Апис в сообщении #546864 писал(а):

Актуальная бесконечность, это некое целое число, (k) которое обладает следующими свойствами
Число (k), растёт по величине.

Противоречие (т.е. Вы утверждаете, что $k>k$)
Контрольный вопрос: $11$ - это актуальная бесконечность?

Так, я чувствую, что Вы сейчас начнете изобретать велосипед с квадратными колесами матанализ в примитивной форме. Может все-таки не будем? Я же Вам предлагал уже книжки почитать.
Вы осознаете то, о чем я говорю или нет?

Апис в сообщении #546864 писал(а):

Так же противоречит и теории гросс единицы

Нет такой теории.


З.Ы. Нет, извините, я не буду в теме участвовать.

[Droog_Andrey]

Пора в пургаторий.

[PAV]

Droog_Andrey в сообщении #547380 писал(а):

Пора в пургаторий.

Переезжаем.