Мат. аппарат квант. мех.

[Padawan]

Munin в сообщении #546154 писал(а):

"Аналогия с векторным пространством" - там не аналогия, а напрямую векторное пространство и есть. Бесконечномерное. Называется пространство Гильберта.

Я могу ошибаться, но в КМ используется же вроде проективное пространство Гильберта,т.е вектора, отличающиеся на комплексный множитель отождествляются. Или нет?

[ewert]

Padawan в сообщении #546302 писал(а):

в КМ используется же вроде проективное пространство Гильберта,т.е вектора, отличающиеся на комплексный множитель отождествляются.

Отождествляются лишь при интерпретации ВФ. В самом аппарате -- нет.

[Padawan]

ewert
Понятно, спасибо. Но раз при интерпретации отождествляются, то скорее всего возможен аппарат, напрямую работающий с проективным ГП.

[ewert]

Padawan в сообщении #546308 писал(а):

то скорее всего возможен аппарат, напрямую работающий с проективным ГП.

Я не знаю. Но кажется невероятным, что такой аппарат может оказаться удобным. Ведь что может быть проще гильбертова пространства?...

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #546295 писал(а):

А КМ в основе своей всё-таки ДУЧП,

Ни в коем случае! Это только один из методов вычислений, ничего больше. Так для осциллятора (а это ОГРОМНАЯ часть физики, фононы, фотоны...) дифуры вообще решать ни к чему. Ну можно, в качестве дополнения, что-то знать про полиномы Эрмита. А можно про них вообще ничего не знать А возьмем квантовую химию. Никто там никаких дифуров не решает, разлагают по конечному (!!!) базису (довольно произвольному с мат точки зрения) и решают СЛАУ. Особенно занятно как Вы будете описывать спин в терминах дифференциальных операторов А это всякие ЯМР, ЯКР, ЭПР... На кой тут дифуравнения???? Кроме дифуравнения по времени, естественно. Оптика. БОльшая часть результатов получается в резонансном приближении. Когда вообще учитываются только два состояния. Можно перевести на язык квазиспина, но как перевести на язык дифуров (кроме полностью искуственных конструкций) я понятия не имею...

-- Чт мар 08, 2012 19:45:45 --

Munin в сообщении #546295 писал(а):

Без бра-кетов можн

Изложить -- можно. Понять -- нельзя!

-- Чт мар 08, 2012 19:48:32 --

Munin в сообщении #546295 писал(а):

что для первого знакомства с КМ ("общая физика" не считается, там матаппарата нет) книжка не очень подходящая, слишком "крутая" (в смысле крутизны кривой обучения).

Мое мнение в точности противоположное (я тоже посмотрел) Хотя некоторая ориентация на будущих профессиональных теоретиков действительно есть.

[ewert]

Alex-Yu в сообщении #546313 писал(а):

Изложить -- можно. Понять -- нельзя!

Бракеты -- это всего лишь своеобразный обозначенческий жаргон, родившийся из-за недоразвитости и нераспространённости на тот момент функционального анализа (который, собственно, во многом потребностями КМ и стимулировался).

[Alex-Yu]

ewert в сообщении #546311 писал(а):

Ведь что может быть проще гильбертова пространства?...

Ну тонкости там есть. Но в реальной жизни обычно "обрезают" базис до конечного и дальше чистейшей воды линейная алгебра.

-- Чт мар 08, 2012 20:08:19 --

ewert в сообщении #546319 писал(а):

Бракеты -- это всего лишь своеобразный обозначенческий жаргон,

Дело не в обозначениях. А в том, что состояние описывается вектором. А не какой-то там "волновой функцией". Иногда (!!!) этот вектор можно представить в виде разложения по координатным состояниям и свести задачу к дифуру в частных производных. Но это скорее исключение, чем правило.

[Munin]

Padawan в сообщении #546302 писал(а):

Я могу ошибаться, но в КМ используется же вроде проективное пространство Гильберта,т.е вектора, отличающиеся на комплексный множитель отождествляются. Или нет?

Там всё забавней. Отличие на комплексный множитель - ерунда. В КМ используется пространство, в котором все состояния, отвечающие реальности, нормированы на единицу, и операторы эволюции должны переводить их одно в другое, не нарушая нормировки. А любому эрмитову путём умножения на $i$ может быть сопоставлен унитарный, не нарушая собственных векторов и подпространств. Так что вся КМ может быть изложена на единичной сфере.

Впрочем, это ерунда по сравнению с матрицей плотности (оператором плотности), там вообще от векторов состояния можно отказаться.

Alex-Yu в сообщении #546313 писал(а):

Ни в коем случае! Это только один из методов вычислений, ничего больше.

Ну знаете, это и применительно к теории поля можно сказать, что ДУЧП - "только один из методов вычислений". Тем не менее, скажем, разложение в бегущие волны имеет огромный физический смысл. Или функция Грина.

Alex-Yu в сообщении #546313 писал(а):

Так для осциллятора (а это ОГРОМНАЯ часть физики, фононы, фотоны...) дифуры вообще решать ни к чему.

Э нет. Это огромная часть физики, но увы, уже за рамками КМ, или по крайней мере её продвинутая часть. А КМ - это задачи связанных состояний и рассеяния на разных потенциалах. Кстати, и говоря про осциллятор, вы забываете, что всё удовольствие там начинается, когда дифуры уже решены. Их решение происходит в момент введения $a^+,$ $a$ конкретного вида, чтобы выразить через них гамильтониан.

Alex-Yu в сообщении #546313 писал(а):

А возьмем квантовую химию.

Не надо брать квантовую химию. У меня о ней постепенно складывается впечатление, что это тоже далеко не квантовая механика.

Alex-Yu в сообщении #546313 писал(а):

Изложить -- можно. Понять -- нельзя!

Ну зачем же так категорично. Вы сами-то понимаете абсурдность этого заявления? Понимание требует слов и понятий, а не способов записать их на бумажке. В том же ЛЛ-3 для понимания сказано достаточно.

Alex-Yu в сообщении #546313 писал(а):

Мое мнение в точности противоположное (я тоже посмотрел)

Попробуйте посмотреть на неё глазами человека, который не знает, как брать экспоненту от оператора. И вообще с понятием оператора познакомился-то едва-едва. Может, это охладит ваш пыл.

-- 08.03.2012 17:47:11 --

Alex-Yu в сообщении #546320 писал(а):

Иногда (!!!) этот вектор можно представить в виде разложения по координатным состояниям и свести задачу к дифуру в частных производных. Но это скорее исключение, чем правило.

Вы снова и снова КМ с чем-то другим путаете. В КМ это скорее правило, чем исключение.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #546344 писал(а):

Попробуйте посмотреть на неё глазами человека, который не знает, как брать экспоненту от оператора. И вообще с понятием оператора познакомился-то едва-едва. Может, это охладит ваш пыл.

А я именно с таких позиций и смотрю. С точки зрения себя самого в давней молодости. Пока до Дирака не добрался, не понимал вообще ничего. Нет, математика-то была понятна. Но было абсолютно (!!!) непонятно какое это все имеет отношение к физике.

А экспонента от оператора... Да просто это все. Вообще операторы надо вводить из диадных разложений. Это физично. Есть такие состояния (не все), когда значение определенной физической величины (скажем А) имеет смысл. Вводим $|A\rangle A \langle A|$. Значения А могут быть разные. Ну дальше, думаю, понятно. Экспонента (вообще любая функция) от оператора вводится из того, что на собственном состоянии этого оператора она сводится к экспоненте от числа. Как же иначе, если на этом состоянии это просто число. Нет тут ничего сложного, если рассуждать физически, а не математически. Главное математиков до этого не читать Вот потом -- можно и даже полезно.

-- Чт мар 08, 2012 21:06:54 --

Munin в сообщении #546344 писал(а):

В КМ это скорее правило, чем исключение.

Тогда то, что написал Киселев (да и Дирак с Гайзенбергом -- тоже) это вообще не КМ Ладно, будем считать, что важно то, что показана возможность совершенно разного взгляда на КМ. А разнообразие -- великая вещь, как однажды сказал Фейнман

[Himfizik]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #546344 писал(а):

Не надо брать квантовую химию. У меня о ней постепенно складывается впечатление, что это тоже далеко не квантовая механика.

Не трогайте квантовую химию . Часто химики, занимающиеся квантовой химией (простите за тавтологию), путают способы расчета, расчетные методы с реальностью, уходя далеко прочь от физики. Хорошие же физики, как правило, умеют отделять зерна от плевел. Для них (то есть для физиков) в квантовой химии принципы квантовой механики стоят на первом месте.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #546345 писал(а):

Пока до Дирака не добрался, не понимал вообще ничего. Нет, математика-то была понятна. Но было абсолютно (!!!) непонятно какое это все имеет отношение к физике.

Это мрачно. Но это какие-то ваши личные проблемы. Нам всё довольно удачно объяснили на основе сравнения уравнения Шрёдингера с Гамильтоном-Якоби. Не надо думать, что любой, кто воспринимает курс КМ с этой стороны, испытает столь же серьёзные проблемы. Хотя, конечно, чётко проговорить всё это надо.

Alex-Yu в сообщении #546345 писал(а):

А экспонента от оператора... Да просто это все.

Для нас. Постфактум.

Alex-Yu в сообщении #546345 писал(а):

Вообще операторы надо вводить из диадных разложений. Это физично.

Ваше предложение творит полный математический сумбур. Даются некоторые финтифлюшки, объясняется их физический смысл - но совсем не математические "правила игры".

Alex-Yu в сообщении #546345 писал(а):

Экспонента (вообще любая функция) от оператора вводится из того, что на собственном состоянии этого оператора она сводится к экспоненте от числа.

Ага, а стоит перейти в другое представление, и что такое экспонента - становится абсолютно непонятно. Мне и было непонятно, пока мне не показали, как брать экспоненты от матриц.

Alex-Yu в сообщении #546345 писал(а):

Тогда то, что написал Киселев (да и Дирак с Гайзенбергом -- тоже) это вообще не КМ

Да. Это не КМ. Это квантовая физика. Сама по себе ценная теория, но если из неё ампутировать механику - она теряет наглядность и опору на факты простых систем. Изучать её надо, но не вместо КМ, а кроме. В большинстве курсов КМ изложено и то и другое.

Alex-Yu в сообщении #546345 писал(а):

Ладно, будем считать, что важно то, что показана возможность совершенно разного взгляда на КМ.

Тогда вместо Киселёва проще взять ФЛФ.

Himfizik в сообщении #546360 писал(а):

Не трогайте квантовую химию... Для них (то есть для физиков) в квантовой химии принципы квантовой механики стоят на первом месте.

Я не хочу сказать ничего обидного про квантовую химию саму по себе. Но от квантовой механики в квантовой химии используются только стационарные состояния, к тому же весьма упрощённо рассчитанные. Это примерно как статика Архимеда по сравнению с механикой Ньютона. Крайне однобокое использование. И дальше на этом растёт буйным цветом вообще нечто отдельное, изучающее зависимости от параметров, способы вычислений, и т. п., за рамками квантовой химии никому не нужное. Так что судить о квантовой механике по квантовой химии - нельзя.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #546372 писал(а):

Ваше предложение творит полный математический сумбур. Даются некоторые финтифлюшки, объясняется их физический смысл - но совсем не математические "правила игры".

Так этим физика и отличается от математики. Совсем другая наука. А на счет сумбура Вы всеже не правы.


Что-то я не понимаю, чем квантовая механика по Вашим представлениям отличается от чисто математичесской теории: спектральной теории дифференциальных операторов. Тогда уж надо вообще всю физику бросить и неймановские индексы дефекта изучать

-- Чт мар 08, 2012 23:18:45 --

Munin в сообщении #546372 писал(а):

В большинстве курсов КМ изложено и то и другое.

Кстати в ЛЛ-3 дифуравнений крайне мало. Только в самом начале. Атом водорода, квазиклассика, а что еще? Ну теория рассеяния. Которая, кстати, намного понятнее без дифуравнений, через уравнение Липмана-Швингера в абстрактной форме.

Всеже, на мой взгляд, волновая функция это анахронизм. Создает физически совсем не правильное представление, что есть нечто, что распространяется в пространстве волновым образом. Еще сильнее это проявляется в словах "волна деБройля". Как нас в средней школе учили? "Волна это колебание, распространяющееся в пространстве"? Так вроде. Ничего такого в квантовой механике нет, ничего физического там так не распространяется! Вполне понятны исторические причины всего этого (когда тот же ЛЛ3 написан был?), но нельзя же до бесконечности все это повторять. Всему этому место разве что в курсе истории физики.

-- Чт мар 08, 2012 23:23:57 --

Munin в сообщении #546372 писал(а):

Ага, а стоит перейти в другое представление, и что такое экспонента - становится абсолютно непонятно.

???

$$ f(\hat{A})=\sum |A\rangle f(A) \langle A | $$

Причем здесь представление??? Ради бога, считайте матричные элементы в любом представлении, никаких проблем!

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #546391 писал(а):

Так этим физика и отличается от математики. Совсем другая наука. А на счет сумбура Вы всеже не правы.

Нет. Физика не отличается от математики тем, что правил игры в ней не дают или нарочно затуманивают. Важно быстро "приземлить" студента на уже знакомую ему землю - линейную алгебру. После этого можно творить с базисами и разложениями что угодно. А если говорить только про физический смысл, то где математический? В "совсем другой науке"? Это только издевательство.

Alex-Yu в сообщении #546391 писал(а):

Что-то я не понимаю, чем квантовая механика по Вашим представлениям отличается от чисто математичесской теории: спектральной теории дифференциальных операторов.

Тем, что в ней есть физический смысл того, что делается, и конкретные примеры, не говорю приложения. И постановки задач. Например, где в спектральной теории дифференциальных операторов задача рассеяния?

Alex-Yu в сообщении #546391 писал(а):

Тогда уж надо вообще всю физику бросить и неймановские индексы дефекта изучать

Мне кажется, вы меня не слушаете, а выдумываете о моём мнении что-то своё.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #546372 писал(а):

Нам всё довольно удачно объяснили на основе сравнения уравнения Шрёдингера с Гамильтоном-Якоби. Не надо думать, что любой, кто воспринимает курс КМ с этой стороны, испытает столь же серьёзные проблемы.

Думаю, что тот, кто не испытыват здесь проблем, просто их не осознает. И, тем самым, просто ничего не понимает.

-- Чт мар 08, 2012 23:31:19 --

Munin в сообщении #546401 писал(а):

Важно быстро "приземлить" студента на уже знакомую ему землю - линейную алгебру.

Вот с этим согласен на 100 процентов. Именно на линейную алгебру! Которая не имеет никакого прямого отношения к дифуравнениям Поэтому с какой такой радости надо кого-то "заземлять"? Прямо с линейной алгебры и начать. Не акцентировать бесконечность размерности (хотя и упомянукть об этом). Без всех этих глупостей на счет волновой функции. В КМ принципиально другая кинематика. И не надо создавать иллюзии, будто эта кинематика может быть сведена к кинематике волновых полей. А такие иллюзии (возможно неосознаваемые, что еще хуже) неизбежны если начать с координатной волновой функции.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #546391 писал(а):

Кстати в ЛЛ-3 дифуравнений крайне мало.

Это ничего. Ландау, всё-таки, не учебник по ураматам писал, переложил это на другие плечи. Главное - зацепку дал.

Alex-Yu в сообщении #546391 писал(а):

Всеже, на мой взгляд, волновая функция это анахронизм.

Вы экстремист.

Alex-Yu в сообщении #546391 писал(а):

Создает физически совсем не правильное представление, что есть нечто, что распространяется в пространстве волновым образом.

Ну, не в пространстве, а в конфигурационном пространстве, положим. А что здесь неправильного? Если этого не сказать, то возникают всякие кретинства типа эвереттики, "квантовой магии" и прочих астрала и шизофрении.

Alex-Yu в сообщении #546391 писал(а):

Ничего такого в квантовой механике нет, ничего физического там так не распространяется!

Ууу, шайзе. Вы в материальность амплитуды не верите? Многих косит этот заскок, но от вас не ожидал, с вашими высказываниями о физичности.

Alex-Yu в сообщении #546391 писал(а):

Причем здесь представление??? Ради бога, считайте матричные элементы в любом представлении, никаких проблем!

При отсутствии наглядности. Что такое экспонента от матрицы, в конце концов, вы объяснить на пальцах можете? Или напрочь забыли те времена, когда вы этого не знали? Или и сейчас не знаете, а воспринимаете только как игру в буковки?