Задача с эллипасами

[Zada4ka]

Добрый день! Помогите, пожалуйста, решить задачку. Ломаю голову не первый день.
Дано четыре эллипса (см. рис.). Все они одинаковые и наклонены под углом L к горизонтальной оси. Большой радиус эллипсов равен а, малый - b. Нужно найти AB, AD, ED при условии их расположения, показанном на рисунке (все они касаются друг друга).

Спасибо.

Рисунок:

[Yu_K]

А если предположить, что они резиновые, растянуть их до окружностей. Там будет ромб в центре - ну а потом все обратно сжать. И поразбираться с этим преобразованием.

[alcoholist]

Я правильно понимаю, что $AB$ и $DC$ находятся под углом $L$ к главной оси?

[Zada4ka]

Да, $AB$ и $DC$ находятся под углом $L$ к главной оси эллипса.

alcoholist в сообщении #546038 писал(а):

Я правильно понимаю, что $AB$ и $DC$ находятся под углом $L$ к главной оси?

[svv]

Zada4ka, это был вопрос-подсказка. Раз так, то
$AB=CD=2\sqrt{a^2\cos^2 L+b^2\sin^2 L}$

[vvvv]

svv в сообщении #546157 писал(а):

Zada4ka, это был вопрос-подсказка. Раз так, то
$AB=CD=2\sqrt{a^2\cos^2 L+b^2\sin^2 L}$

Формула неверная.

[Zada4ka]

Рассчитываю $AB$ так:

$AB=a\cos t\cos L+b\sin t\sin L$

где,

$t=-arcsin\left( \frac {-a\sin L} {\sqrt{(a\sin L)^2 + (b\cos L)^2}} \right)$

Вопрос в том, как найти $AD$ и $DE$ ?

vvvv в сообщении #546231 писал(а):

svv в сообщении #546157 писал(а):

Zada4ka, это был вопрос-подсказка. Раз так, то
$AB=CD=2\sqrt{a^2\cos^2 L+b^2\sin^2 L}$

Формула неверная.

[vvvv]

AB=DC. Посчитал так:
- записал параметрическое уравнение эллипса
- с помощью матрицы вращения повернул его на нужный угол (получил уравнение повернутого эллипса)
- приравнял у нулю и нашел значение параметра t
- подставив, найденное значение t, в уравнение повернутого эллипса, нашел абсциссу точки пересечения повернутого эллипса с осью OX. Умножил ее на 2 и получил DС; DС=AB

P.S. Если соприкасающие цилиндры пересечь подходящей плоскостью, то в плоскости получится нужное сечение, в котором легко найти
расстояния между центрами получившихся эллипсов.

[svv]

vvvv, поясните, почему Вы считаете мою формулу неверной?

[vvvv]

svv в сообщении #546389 писал(а):

vvvv, поясните, почему Вы считаете мою формулу неверной?

Я ее,просто, проверил для конкретного эллипса и угла.
См.картинку.

[svv]

Да, Вы правы, я ошибся.

[vvvv]

svv в сообщении #546459 писал(а):

Да, Вы правы, я ошибся.

Всяко бывает

[mihiv]

$AB=DC=2\sqrt {b^2\sin ^2L_1+a^2\cos ^2L_1},AD=BC=2\sqrt {b^2\sin ^2(\frac {2\pi }3-L_1)+a^2\cos ^2(\frac {2\pi }3-L_1)}, DE=\dfrac {\sqrt 3ab}{\sqrt {b^2\sin ^2L_1+a^2\cos ^2 L_1}},\tg {L_1}=\frac ab\tg L$

[vvvv]

Первая формула верна. Вторая формула неверна.Третью не проверял.

[Zada4ka]

Проверил формулы, у меня результат расчета по формулам сходится с результатом, полученным графически (в AutoCad). Не подскажете, из каких соображений они были выведены?

mihiv в сообщении #546773 писал(а):

$AB=DC=2\sqrt {b^2\sin ^2L_1+a^2\cos ^2L_1},AD=BC=2\sqrt {b^2\sin ^2(\frac {2\pi }3-L_1)+a^2\cos ^2(\frac {2\pi }3-L_1)}, DE=\dfrac {\sqrt 3ab}{\sqrt {b^2\sin ^2L_1+a^2\cos ^2 L_1}},\tg {L_1}=\frac ab\tg L$