Трапеция в пространстве. Стереометрия.

[Sigurd]

Всем доброго времени суток.
Пытаюсь освоить основы стереометрии, но пока видимо несовсем удачно.

Итак, есть задание:
Вершинами четырёхугольника KLMN являются K(1;1;7), L(3;3;7), M(9;1;1) и N(4;0;4).
Первым делом необходимо убедиться, что данный четырёхугольник есть трапеция, а также определить её основания.
Трапеция - это такой четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна. Сделав чертёж, мы можем видеть, что стороны KN и LM параллельны, но как это доказать?
Известно, что две прямые параллельны в пространстве тогда, когда они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек (не пересекаются). Отсюда следует вопрос: как доказать, что обе прямые лежат в одной плоскости?
Можно вывести уравнения прямых.
KN: $-x-3y+z-3=0$
LM: $-x-3y+z+5=0$
В планиметрии параллельность прямых определяется по угловому коэффициенту, а тут как?
Просветите, пожалуйста.

[gris]

Например, если у прямых коллинеарные направляющие векторы и прямые не совпадают. То есть некоторая точка одной прямой не принадлежит второй. Здесь это как раз подходит.
Вы написали уравнения не прямых, а некоторых плоскостей.

[spaits]

$KL=(2;2;0); LM=(6;-2;-6); MN=(-5;-1;3); KN=(3;-1;-3)$.
Это координаты векторов - сторон четырехугольника. Как найти координаты вектора, Вы ведь знаете. Теперь используйте признак параллельности векторов: если координаты пропорциональны, то векторы коллинеарны. Сторона $LM$ параллельна стороне $KN$.

-- Вт мар 06, 2012 22:15:26 --

Извините, gris, что повторяюсь, Вы сказали то же самое.
Да, надо еще доказать, что $KM$ и $KN$ не лежат на одной прямой. Может быть, топикстартер поможет?

[Sigurd]

spaits в сообщении #545930 писал(а):

Да, надо еще доказать, что и не лежат на одной прямой. Может быть, топикстартер поможет?

...попробую. Координаты вектора $\overrightarrow {K M} = (9-1; 1-1; 1-7) = (8; 0; -6)$
Сравнивая координаты обоих векторов, становится ясно, что они не удовлетворяют условию коллинеарности векторов, т.е. в данном случае невозможно подобрать такое число $x$, чтобы $\vec b = x \vec a$
Надеюсь, что я верно это усвоил.
Думаю, что стоит пойти дальше по заданию, а именно доказать, что трапеция KLMN не является равнобедренной, т.е. что модуль вектора $\overrightarrow {K L}$ не равен модулю вектора $\overrightarrow {N M}$.
Попробую рассуждать следующим образом. Если векторы $\overrightarrow {K N}$ и $\overrightarrow {L M}$ коллинеарны, то прямые, на которых они лежат, параллельны. Это в свою очередь означает, что через эти прямые можно провести плоскость. Если же мы соединим концы наших коллинеарных векторов дополнительными двумя векторами, то полученные два вектора - $\overrightarrow {K L}$ и $\overrightarrow {N M}$ - будут также лежать в этой плоскости. А так как на каждой плоскости выполняются все утверждения планиметрии, то я осмелюсь временно отбросить координаты оси аппликат. Тогда:
$|\overrightarrow {K L}| = \sqrt{(3-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt8 = 2\sqrt2$
$|\overrightarrow {N M}| = \sqrt{(9-4)^2 + (1-0)^2} = \sqrt26$
Модули неравны, поэтому трапеция не является равнобедренной.

Я правильно понимаю, что при таком раскладе с трапецией можно работать "в режиме 2D"?

[spaits]

Sigurd в сообщении #546086 писал(а):

Я правильно понимаю, что при таком раскладе с трапецией можно работать "в режиме 2D"?

По определению, параллельные прямые лежат в одной плоскости. Следовательно, вся трапеция.