Уравнение Навье-Стокса в конечных разностях (УНС).

[idoso]

Уравнение Навье-Стокса в конечных разностях (УНС).

Доказано ли существование решения УНС в конечных разностях в размерности 3? Хоть для каких-нибудь постановок.

[hurtsy]

idoso в сообщении #545373 писал(а):

Хоть для каких-нибудь постановок.

Пожалуйста, предъявите примеры того, что Вы называете постановкой.

idoso в сообщении #545373 писал(а):

Доказано ли существование решения УНС в конечных разностях в размерности 3?

Дифференциальные уравнения(ДУ) и конечно-разностные аппроксимации, это две математические модели для наблюдаемой физической реальности. Доказательство существования решения КРА для УНС вряд ли будет принято в качестве доказательства существования решения УНС. Доказательство для ДУ УНС есть одна из проблем названых "проблема тысячелетия", находится под контролем института им. Клейна. С уважением,

[idoso]

Спасибо за Ваш ответ.
Я имею ввиду любую постановку, например, решение ищется на всей решетке
$Z^3$ с начальными условиями.

Я понимаю, что решение в конечных разностях на решетке есть только аппроксимация настоящего решения. Мой вопрос: доказано ли существование решения на решетке.

Всего доброго.

[g______d]

Ну если время тоже дискретное, то вроде как существование и единственность очевидны. Может быть, я что-то упускаю.

hurtsy в сообщении #545805 писал(а):

находится под контролем института им. Клейна.

:)

[shwedka]

idoso в сообщении #545839 писал(а):

Спасибо за Ваш ответ.
Я имею ввиду любую постановку, например, решение ищется на всей решетке
$Z^3$ с начальными условиями.

Я понимаю, что решение в конечных разностях на решетке есть только аппроксимация настоящего решения. Мой вопрос: доказано ли существование решения на решетке.

Всего доброго.

Можно придумать много дискретных аппроксимаций УНС. Явные схемы всегда решаются. Неявные схемы могут при некоторой неудаче быть нерешаемы. Но и те, и другие могут дать неконтролируемый рост решений; это и отсутствие энергетических оценок приводят к тому, что нельзя сказать, что решение разностной аппроксимации близко к настоящему решению, даже если последнее и существует.

[idoso]

К сожалению, не очень образован в численных методах, не знаю, что такое явные схемы и неявные тоже не знаю. Могли бы Вы дать ссылку на какой-либо вразумительный текст на эту тему.

Я еще раз повторю, что я имею ввиду. На решетке $Z^3\times Z$ выписывается УНС в конечных разностях, добавляются начальные условия. Доказано ли существование решения? По-видимому решение существует при ограничениях на начальную конфигурацию. Доказано ли существование решения на всей оси $Z$ времени при каких-то начальных условиях? Предположим еще, что выполнено условие несжимаемости. Пусть это решение будет далеко от решения непрерывного УНС.

[hurtsy]

idoso в сообщении #545891 писал(а):

К сожалению, не очень образован в численных методах, не знаю, что такое явные схемы и неявные тоже не знаю. Могли бы Вы дать ссылку на какой-либо вразумительный текст на эту тему.

Да-да. Вразумительность прежде всего. Погуглите Александр Андреевич Самарский, конечно-разностные схемы, явные, неявные, консервативные, энергетические неравенства. С уважением,

[shwedka]

idoso в сообщении #545891 писал(а):

На решетке $Z^3\times Z$ выписывается УНС в конечных разностях, добавляются начальные условия.

Вот когда станете выписывать УНС на решетке, тогда и придется ознакомиться с явными и неявными схемами.

[idoso]

Большое спасибо за все замечания. Мне было полезно. Начинаю что-то понимать в численных методах с помощью конечных разностей. Я некорректно сформулировал свой вопрос. Как я понимаю, явные схемы всегда дают решение, удовлетворяющее уравнению в конечных разностях (соответствующее схеме). Явные схемы обладают некоторым свойством "марковости", что нарушает по каким-то причинам "адекватность" уравнения в конечных разностях "настоящему" уравнению. Хотя неявные схемы (подсмотрел у Самарского) кажутся тоже не удовлетворительными.

Вопрос, который я хотел задать, я сейчас сформулировать не могу. Интуитивно мне кажется, что должна существовать "правильная" разностная схема, в которой вопросы существования и единственности должны быть "почти" эквивалентны непрерывной задаче.

[g______d]

idoso в сообщении #546082 писал(а):

Интуитивно мне кажется, что должна существовать "правильная" разностная схема, в которой вопросы существования и единственности должны быть "почти" эквивалентны непрерывной задаче.

Это на чем-то основано, или просто так? Например, знаете ли Вы хоть один пример, когда такое бывает для более простых уравнений?

[hurtsy]

idoso в сообщении #546082 писал(а):

Хотя неявные схемы (подсмотрел у Самарского) кажутся тоже не удовлетворительными.

Самарский среди явных и неявных схем выделяет схемы обладающие консерватизмом, что соответствует закону сохранения. Такие схемы годятся для вычислений. С уважением,

[CowboyHugges]

idoso в сообщении #546082 писал(а):

Интуитивно мне кажется, что должна существовать "правильная" разностная схема, в которой вопросы существования и единственности должны быть "почти" эквивалентны непрерывной задаче.

Ну это вам так только кажется. При доказательстве существования решения нелинейной задачи есть два краеугольных камня - априорная оценка и предельный переход - а они диктуются в основном исходной задачей. А структура аппроксимации здесь не очень важна: конечно-разностные схемы, Галеркин, дополнительная вязкость - все одни и те же яйца, только вид с разных боков. А для получения оценки, ИМХО, конечно-разностные схемы подходят меньше всего.

ЗЫ: А, по-моему, у Темама конечно-разностные схемы для Навье-Стокса были расписаны: и существование их, и предельные переходы, разве нет?