Ответ задачи совершенно противоречил моей интуиции
Мне в этом
повезло больше. Мысль рассматривать

как

у меня возникла в связи с задачей как описать пространство

Поэтому, когда я впервые столкнулся с вопросом "
может ли пространство
быть сопряжённым к чему-нибудь", у меня уже был готовый ответ.
Позже я встречал значительно более общее утверждение:
Каждое пространство

изометрически изоморфно пространству

где

— некоторый компакт.
(
Доказательство воспроизвожу по памяти, и могу что-то упустить, поскольку материалом владею недостаточно.)
— полупростая коммутативная банахова алгебра. А каждая такая алгебра изоморфна некоторой алгебре
где
— некоторый компакт.Встает вопрос, а если

— метрический компакт?
мне почему-то кажется, что мы надорвемся уже на пространстве
![$C[0,1]$ $C[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/1/ca1e69cd98bea147d53c53dda6988e1882.png)
Если рассматривать пространства над

, то не надорвёмся.
Если пространство является сопряжённым, то единичный замкнутый шар *-слабо компактен, и, следовательно (по теореме Крейна–Мильмана), является замыканием выпуклой оболочки своих крайних точек. Но в
![$C[a;\ b]$ $C[a;\ b]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/a/64a4f9ac7ea7da6f06d0b240c23ffa6682.png)
есть только 2 крайние точки, и их выпуклая оболочка это константы.
Такое же доказательство проходит для всех компактов, имеющих компоненты связности, состоящие более чем из одной точки.
По-моему, намного интереснее разобраться с канторовым множеством.