Теорема о конечной сумме цифр числа

[NewPoisk]

Теорема: конечная цифра суммы цифр любого числа, посчитанная произвольным образом, постоянна. Конечная сумма числа делящегося на 3 также делится на 3, делящегося на 9 равна 9. Конечная сумма n чисел с конечной суммой каждого = 9, равна 9. Например, для числа 129 имеем: 1+2+9=12, 1+2=3; 129=97+32, 9+7+3+2=21, 2+1=3; …

---

Открыта мною, но - как подозреваю - переоткрыта. Кто был первым?

[Евгений Машеров]

Это критерий делимости чисел на 3 и 9. Лично я узнал его в третьем классе, это примерно 1969. Но, кажется, он и в гимназических учебниках приводился.

[Sender]

Подозреваю, что этот критерий был известен ещё Паскалю.

[NewPoisk]

Нет, это не критерий делимости. Посмотрите внимательнее на формулировку теоремы. Примеры с "3" и "9" - частные случаи соответствующих признаков делимости (кстати, это еще нужно доказать, поскольку критерий делимости говорит о сумме цифр числа, в то время как теорема о конечной сумме цифр).

Мне кажется, данная теорема есть в каком-то разделе теории чисел, но вот где конкретно я не знаю.

[Sender]

А что такое конечная сумма цифр числа и какими, по-вашему, способами она может быть посчитана?

[nnosipov]

NewPoisk в сообщении #545461 писал(а):

Теорема: конечная цифра суммы цифр любого числа, посчитанная произвольным образом, постоянна. Конечная сумма числа делящегося на 3 также делится на 3, делящегося на 9 равна 9. Конечная сумма n чисел с конечной суммой каждого = 9, равна 9. Например, для числа 129 имеем: 1+2+9=12, 1+2=3; 129=97+32, 9+7+3+2=21, 2+1=3; …

Это не теорема, а банальное наблюдение, основанное на том, что любое натуральное число сравнимо со своей суммой цифр по модулю 9.

[NewPoisk]

2 Sender
>А что такое конечная сумма цифр числа и какими, по-вашему, способами она может быть посчитана?

Давайте на примере любого числа: скажите число > 10, я объясню как считать его конечную сумму.

2 nnosipov
>любое натуральное число сравнимо со своей суммой цифр по модулю 9

Объясните, пожалуйста, поподробнее.

[nnosipov]

Пусть $S(n)$ --- сумма 10-ичных цифр натурального числа $n$. Тогда $n \equiv S(n) \pmod{9}$ (что такое сравнение по модулю, а также простейшие свойства сравнений по модулю --- об этом где-нибудь прочитайте). В частности, если $n=n_1+\ldots+n_k$, то $n \equiv S(n_1)+\ldots+S(n_k) \pmod{9}$. Таким образом, на каждом шаге Вы будете заменять число на меньшее число, но сравнимое с ним по модулю $9$. А значит, в конечном итоге Вы получите одну из ненулевых цифр. И понятно, какую: именно ту, с которой исходное число $n$ сравнимо по модулю $9$. Конкретнее: если число $n$ кратно $9$, то получится $9$, если же $n$ не делится на $9$, то будет остаток от деления $n$ на $9$.

[Sender]

nnosipov в сообщении #545552 писал(а):

Конкретнее: если число кратно 9, то получится 9, если же не делится на 9, то будет остаток от деления на 9.

Иными словами, $1+(n-1)\mod 9$.

[INGELRII]

NewPoisk в сообщении #545486 писал(а):

Примеры с "3" и "9" - частные случаи соответствующих признаков делимости

В смысле, примеры? То есть вы уверены, что и для других делителей признаки будут выполняться?

Возьмите число 12, вычислите его конечную сумму, и посмотрите, делится ли она на 2. Само-то число вроде делится, а вот сумма...

[NewPoisk]

Мне кажется что участники обсуждения не совсем поняли первое сообщение (почему и упирают в сторону признаков делимости). Может, я просто сформулировал не так. Еще раз:

Теорема: конечная цифра суммы цифр любого числа, посчитанная произвольным образом, постоянна.

Остальное (в частности, случаи с "3" и "9", т.е. всего 2 случая из 9 возможных (число ноль не рассматриваем)) - следствия.

Как видите, ни о каких признаках делимости изначально речь не ведется.

2 nnosipov

Да, похоже это действительно "по модулю 9". Подумаю.

[bot]

Вас правильно поняли. Ни о каких признаках делимости Вы речи не ведёте - это верно, но замеченное Вами свойство (в десятичной системе счисления) является тривиальным следствием признака делимости на 9.

[NewPoisk]

Да. Точно. Признак делимости на 9. Спасибо всем за объяснение. Тема закрыта.

2 bot

Маленький вопрос напоследок: чем тривиальное отличается от нетривиального?

[bot]

(Оффтоп)

Приставкой не.

Это субъективная оценка. В данном случае была использована, так сказать, для давления на сознание. А что, разве после того как разобрались, оценка выглядит неточной?

[NewPoisk]

Вы правы, оценка совершенно правильная, справедливая и точная. Правда... Пример-то был шутливым. Таких примеров у меня несколько (вот еще: Синтез геометрии и вычислительной математики: совершенно любую задачу на построение (циркулем и линейкой) можно решить, если приближаться к решению за бесконечное число шагов. или Устройство супершифровки. Главная проблема криптографии состоит в получении как можно более длинной последовательности не повторяющихся чисел. Воспользуемся таковым свойством иррациональной десятичной дроби или, скажем, функции sqrt(2)., из той же серии есть даже объяснение /кстати, довольно необычное/ феномена холодного ядерного синтеза). Это своего рода проверка форума на профессионализм.

В общем, я ищу соображающих собеседников с которыми можно было бы пообсуждать доказательства ряда фундаментальных вопросов, тяготеющих к математике, по теории сознания. К сожалению на ИИ-форумах таковых все меньше и меньше. Судя по числу Ваших сообщений, не можете ничего посоветовать по этой проблеме?

P.S.
Для честности добавлю, что к своему стыду про следствие делимости на 9 я действительно не догадался.