Как проще всего решить такое уравнение?

[number_one]

$(x-1)x(x+1)(x+2)=24$

Можно ли решить, не раскрывая скобки? То есть сделать замену или что-то в этом духе...

[Joker_vD]

Ну конечно можно, если знать, что $24=1\cdot2\cdot3\cdot4$

[number_one]

Joker_vD в сообщении #545577 писал(а):

Ну конечно можно, если знать, что $24=1\cdot2\cdot3\cdot4$

Ну, хорошо, но еще $24=(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot(-4)$

Ок, то есть есть 2 корня $x=2$ и $x=-3$. Как доказать, что нет других действительных корней?

[bot]

Два средних $\times $ два крайних: $(x^2+x-1+1)(x^2+x-1-1)=24$

[number_one]

bot в сообщении #545580 писал(а):

Два средних $\times $ два крайних: $(x^2+x-1+1)(x^2+x-1-1)=24$

Спасибо.

$(x^2+x-1)^2-1=24$

$x^2+x-1=\pm 5$

1) $x^2+x-1=5$

$x^2+x-6=0$

$x=2$ или $x=-3$

2) $x^2+x-6=-5$

Нет действительных корней.

А все-таки можно было что-то придумать с $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4$?

[mihiv]

number_one в сообщении #545581 писал(а):

А все-таки можно было что-то придумать с $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4$?

Оставшиеся два корня можно было бы найти с помощью теоремы Виета.

[number_one]

mihiv в сообщении #545585 писал(а):

number_one в сообщении #545581 писал(а):

А все-таки можно было что-то придумать с $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4$?

Оставшиеся два корня можно было бы найти с помощью теоремы Виета.

А это как? Как ее применить? к чему? Вы имеете ввиду то, что нужно раскрыть скобки и уравнение четвертой степени делить в столбик на $(x-2)(x+3)$? Или что-то более простое?

[mihailm]

number_one в сообщении #545622 писал(а):

...
Вы имеете ввиду то, что нужно раскрыть скобки и уравнение четвертой степени делить в столбик на $(x-2)(x+3)$? Или что-то более простое?

(Оффтоп)

Делят уголком, это во-первых, во-вторых куда уж проще?

[mihiv]

По теореме Виета произведение корней:$x_1x_2x_3x_4=-24$,сумма корней -коэффициент при $x^3$ со знаком минус,т.е.$x_1+x_2+x_3+x_4=-2,x_1=2,x_2=-3$,следовательно, $x_3x_4=4,x_3+x_4=-1$,отсюда находим $x_3,x_4$

[Praded]

Для решения исходного уравнения проводится стандартная замена
$y=\dfrac{(x-1)+x+(x+1)+(x+2)}{4}=x+0,5\Leftrightarrow x=y-0,5$
Уравнение превращается в обычное биквадратное. Не надо ничего замечать и ни о чём догадываться. Просто механическое выполнение операций.

[number_one]

Praded в сообщении #545634 писал(а):

Для решения исходного уравнения проводится стандартная замена
$y=\dfrac{(x-1)+x+(x+1)+(x+2)}{4}=x+0,5\Leftrightarrow x=y-0,5$
Уравнение превращается в обычное биквадратное. Не надо ничего замечать и ни о чём догадываться. Просто механическое выполнение операций.

Что же стандартного в этой замене? Что-то мне не очевидно...

[Praded]

Эта замена сводит уравнение к биквадратному. Предствьте, что у вас справа не 24, а 25. Все изыски и красоты сразу становятся никчемными. Заменой решение найдётся всегда.
PS. А вы проведите замену. Вы всё поймёте.

[Евгений Машеров]

Заметить симметричность относительно некоторой точки x=0.5. Заменить переменную, чтобы симметричность видна была. Переставить сомножители, чтобы заметить формулу разности квадратов. Ещё раз заменить квадраты на новую переменную, получив обычное квадратное уравнение
(это, как Вы поняли, объяснение того, как можно увидеть способ перехода к биквадратному).

[ewert]

После угадывания двух корней можно ещё тупо раскрыть все скобки и разделить на $x^2+x-5$. Неэлегантно, конечно, но зато думать ни о чём не нужно.

Наиболее разумно, конечно, действительно увидеть симметрию левой части.

[Praded]

number_one в сообщении #545643 писал(а):

Что же стандартного в этой замене? Что-то мне не очевидно...

Открываем
Олехник С.Н, Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Справочник. - М.: Изд-во Факториал, 1997.
В п. 3.1.3. на стр. 89 читаем:
"Уравнение $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)=A$, где числа $\alpha,\;\beta,\;\gamma,\;\delta$ таковы, что $\alpha<\beta<\gamma<\delta$ и $\beta-\alpha=\delta-\gamma$ заменой неизвестных $y=\dfrac{x-\alpha+x-\beta+x-\gamma+x-\delta}{4}$ сводится к биквадратному уравнению."
Поэтому я и назвал замену стандартной.