2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Как проще всего решить такое уравнение?
Сообщение05.03.2012, 17:25 
$(x-1)x(x+1)(x+2)=24$

Можно ли решить, не раскрывая скобки? То есть сделать замену или что-то в этом духе...

 
 
 
 Re: Как проще всего решить такое уравнение?
Сообщение05.03.2012, 17:31 
Ну конечно можно, если знать, что $24=1\cdot2\cdot3\cdot4$

 
 
 
 Re: Как проще всего решить такое уравнение?
Сообщение05.03.2012, 17:34 
Joker_vD в сообщении #545577 писал(а):
Ну конечно можно, если знать, что $24=1\cdot2\cdot3\cdot4$


Ну, хорошо, но еще $24=(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot(-4)$

Ок, то есть есть 2 корня $x=2$ и $x=-3$. Как доказать, что нет других действительных корней?

 
 
 
 Re: Как проще всего решить такое уравнение?
Сообщение05.03.2012, 17:40 
Аватара пользователя
Два средних $\times $ два крайних: $(x^2+x-1+1)(x^2+x-1-1)=24$

 
 
 
 Re: Как проще всего решить такое уравнение?
Сообщение05.03.2012, 17:47 
bot в сообщении #545580 писал(а):
Два средних $\times $ два крайних: $(x^2+x-1+1)(x^2+x-1-1)=24$


Спасибо.

$(x^2+x-1)^2-1=24$

$x^2+x-1=\pm 5$

1) $x^2+x-1=5$

$x^2+x-6=0$

$x=2$ или $x=-3$

2) $x^2+x-6=-5$

Нет действительных корней.

А все-таки можно было что-то придумать с $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4$?

 
 
 
 Re: Как проще всего решить такое уравнение?
Сообщение05.03.2012, 17:53 
number_one в сообщении #545581 писал(а):
А все-таки можно было что-то придумать с $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4$?

Оставшиеся два корня можно было бы найти с помощью теоремы Виета.

 
 
 
 Re: Как проще всего решить такое уравнение?
Сообщение05.03.2012, 19:46 
mihiv в сообщении #545585 писал(а):
number_one в сообщении #545581 писал(а):
А все-таки можно было что-то придумать с $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4$?

Оставшиеся два корня можно было бы найти с помощью теоремы Виета.


А это как? Как ее применить? к чему? Вы имеете ввиду то, что нужно раскрыть скобки и уравнение четвертой степени делить в столбик на $(x-2)(x+3)$? Или что-то более простое?

 
 
 
 Re: Как проще всего решить такое уравнение?
Сообщение05.03.2012, 20:01 
number_one в сообщении #545622 писал(а):
...
Вы имеете ввиду то, что нужно раскрыть скобки и уравнение четвертой степени делить в столбик на $(x-2)(x+3)$? Или что-то более простое?


(Оффтоп)

Делят уголком, это во-первых, во-вторых куда уж проще?

 
 
 
 Re: Как проще всего решить такое уравнение?
Сообщение05.03.2012, 20:04 
По теореме Виета произведение корней:$x_1x_2x_3x_4=-24$,сумма корней -коэффициент при $x^3$ со знаком минус,т.е.$x_1+x_2+x_3+x_4=-2,x_1=2,x_2=-3$,следовательно, $x_3x_4=4,x_3+x_4=-1$,отсюда находим $x_3,x_4$

 
 
 
 Re: Как проще всего решить такое уравнение?
Сообщение05.03.2012, 20:09 
Для решения исходного уравнения проводится стандартная замена
$y=\dfrac{(x-1)+x+(x+1)+(x+2)}{4}=x+0,5\Leftrightarrow x=y-0,5$
Уравнение превращается в обычное биквадратное. Не надо ничего замечать и ни о чём догадываться. Просто механическое выполнение операций.

 
 
 
 Re: Как проще всего решить такое уравнение?
Сообщение05.03.2012, 20:40 
Praded в сообщении #545634 писал(а):
Для решения исходного уравнения проводится стандартная замена
$y=\dfrac{(x-1)+x+(x+1)+(x+2)}{4}=x+0,5\Leftrightarrow x=y-0,5$
Уравнение превращается в обычное биквадратное. Не надо ничего замечать и ни о чём догадываться. Просто механическое выполнение операций.


Что же стандартного в этой замене? Что-то мне не очевидно...

 
 
 
 Re: Как проще всего решить такое уравнение?
Сообщение05.03.2012, 20:50 
Эта замена сводит уравнение к биквадратному. Предствьте, что у вас справа не 24, а 25. Все изыски и красоты сразу становятся никчемными. Заменой решение найдётся всегда.
PS. А вы проведите замену. Вы всё поймёте.

 
 
 
 Re: Как проще всего решить такое уравнение?
Сообщение06.03.2012, 10:04 
Аватара пользователя
Заметить симметричность относительно некоторой точки x=0.5. Заменить переменную, чтобы симметричность видна была. Переставить сомножители, чтобы заметить формулу разности квадратов. Ещё раз заменить квадраты на новую переменную, получив обычное квадратное уравнение
(это, как Вы поняли, объяснение того, как можно увидеть способ перехода к биквадратному).

 
 
 
 Re: Как проще всего решить такое уравнение?
Сообщение06.03.2012, 10:22 
После угадывания двух корней можно ещё тупо раскрыть все скобки и разделить на $x^2+x-5$. Неэлегантно, конечно, но зато думать ни о чём не нужно.

Наиболее разумно, конечно, действительно увидеть симметрию левой части.

 
 
 
 Re: Как проще всего решить такое уравнение?
Сообщение06.03.2012, 11:03 
number_one в сообщении #545643 писал(а):
Что же стандартного в этой замене? Что-то мне не очевидно...
Открываем
Олехник С.Н, Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Справочник. - М.: Изд-во Факториал, 1997.
В п. 3.1.3. на стр. 89 читаем:
"Уравнение $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)=A$, где числа $\alpha,\;\beta,\;\gamma,\;\delta$ таковы, что $\alpha<\beta<\gamma<\delta$ и $\beta-\alpha=\delta-\gamma$ заменой неизвестных $y=\dfrac{x-\alpha+x-\beta+x-\gamma+x-\delta}{4}$ сводится к биквадратному уравнению."
Поэтому я и назвал замену стандартной.

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group