Помогите решить неравенство с логарифмами

[spaits]

shau-kote в сообщении #545306 писал(а):

Всем доброго времени.
Да, я догадался перенести всё в одну сторону, привести к общему знаменателю и прийти к выражению
$\frac {\log_3 {\frac {x+\frac 2 9} \sqrt{x}}} {\log_3 {\sqrt{x}} \log_3 ({x+\frac 2 9})}\leqslant 0 $.

Проблема в том, что при переходе к неравенству, не содержащему логарифмы, мы получим неравенство
$ \frac {(\frac {x+\frac 2 9} {\sqrt{x}} - 1)} {(\sqrt{x}-1)(x+ {\frac 2 9}-1)} \leqslant 0 $.

И если точки, в которых меняет знак знаменатель очевидны, то с числителем всё не так просто. :(

Ваши преобразования правомерны, однако, надо указать, что только в ОДЗ исходного уравнения.
Поясню. Неравенство $\log_3{t}>0$ равносильно неравенству $t-1>0$, но неравенство $\log_3{t}<0$ равносильно $t-1<0$ (или $t<1$) только при дополнительном условии $t>0$.
Относительно числителя. Используйте свойство неравенства, что при умножении на положительное число (если в правой части ноль) получаем эквивалентное неравенство. Умножьте числитель на $\sqrt{x}$, ведь $x=0$ не входит в ОДЗ. Тогда в числителе получите: $x-\sqrt{x}+\frac29$. Найти точки, в которых выражение меняет знаки, нетрудно.

[bot]

shau-kote в сообщении #545306 писал(а):

Проблема в том, что при переходе к неравенству, не содержащему логарифмы, мы получим неравенство

Вот чего только не навыдумывают репетиторы и методисты, только для того, чтобы научить решать задачи примеры тех, кто не хочет учиться думать.
Вот казалось бы чего проще - нарисовать на трёх прямых знаки каждого из трёх выражений (которые вычисляются устно, ну разве что для числителя потребуется квадратное неравенство решить) и совместить эти знаки на четвёртой по правилу умножения знаков.

[spaits]

bot в сообщении #545413 писал(а):

Вот казалось бы чего проще

Ваше решение красивое, и даже не обязательно при этом три прямых рисовать, но топикстартер shau-kote почему-то к нему, остроумно изложенному на двух страницах, не прислушался. Он придумал свое решение.
Ваши выводы о нем скоропалительны. Разве человек, не умеющий думать, станет отстаивать свое мнение?

[bot]

(Оффтоп)

spaits в сообщении #545452 писал(а):

Ваши выводы о нем скоропалительны

А где я высказывал своё мнение о ТС? Я говорил о методе и об его очевидной нацеленности на сведении логики к буквенным манипуляциям.

[spaits]

bot в сообщении #545413 писал(а):

только для того, чтобы научить решать задачи примеры тех, кто не хочет учиться думать.

Вот что Вы сказали.

[bot]

(Оффтоп)

У меня не девичья память - помню, что сказал. Задача, кстати, моя - вступительные в НГУ 1997.

[shau-kote]

spaits, спасибо, решил.
Касательно ОДЗ - я знаю, полагал это само собой разумеющимся.

bot, Вы можете объяснить чем конкретно Вам не нравится моё решение? На мой взгляд, и моё, и Ваше решения имеют право на жизнь, но моё лично мне понятнее. Чем моё решение хуже Вашего?

[ewert]

shau-kote в сообщении #546564 писал(а):

Чем моё решение хуже Вашего?

Видимо, потому, что Ваше -- это трюкачество. Между тем задача безо всяких технических затруднений решается по шаблону и никаких спецприёмов не требует.

[shau-kote]

Хм, резонно. Но так сложнее запутаться и ошибиться.

[ewert]

(Оффтоп)

shau-kote в сообщении #546688 писал(а):

Но так сложнее запутаться и ошибиться.

И, соотв., легче распутаться и не ошибиться.