Делимость на 37

[Ktina]

Решить двумя способами, арифметическим и алгебраическим, следующую задачу.

При каких целых неотрицательных $n$ число $1\underbrace{00\dots 00}_{n}1\underbrace{00\dots 00}_{n}1$ делится на 37?

[Sirion]

$n$ сравнимо с 0 или 1 по модулю 3
число в условии, очевидно, делится также на 3 - отсюда оно делится на $37\cdot3 = 111$
признак делимости на 111 несложно сформулировать, исходя из того, что $1000 = 111\cdot9+1$

не знаю, арифметическое это решение или алгебраическое

[Ktina]

Sirion в сообщении #545370 писал(а):

$n$ сравнимо с 0 или 1 по модулю 3
число в условии, очевидно, делится также на 3 - отсюда оно делится на $37\cdot3 = 111$
признак делимости на 111 несложно сформулировать, исходя из того, что $1000 = 111\cdot9+1$

не знаю, арифметическое это решение или алгебраическое

Я имела в виду, что можно решить с помощью арифмоста (это будет арифметический способ), а можно представить данное в задаче число как многочлен и задаться более общим вопросом: при каких $n$ многочлен $x^{2n}+x^n+1$ делится на $x^2+x+1$ - число в задаче является частным случаем такого многочлена.