Берется ли такой интеграл?

[ewert]

Вот теперь с модулем и возитесь. Впрочем, возиться там особо и нечего -- косинус достаточно симметричен с любой точки зрения.

[number_one]

ewert в сообщении #544967 писал(а):

Вот теперь с модулем и возитесь. Впрочем, возиться там особо и нечего -- косинус достаточно симметричен с любой точки зрения.

$$2\sqrt 2\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos\varphi}\;d\varphi= 4\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\big|\cos\frac{\varphi}{2}\big|\;d\varphi= 4\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\frac{\varphi}{2}\;d\varphi\;-\;4\displaystyle\int\limits^{\frac{3\pi}{2}}_{\frac{\pi}{2}}\cos\frac{\varphi}{2}\;d\varphi\;+\;4\displaystyle\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\cos\frac{\varphi}{2}\;d\varphi$$

Правильно?

$\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\frac{\varphi}{2}\;d\varphi=2\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}\cos\frac{\varphi}{2}\;d\big(\frac{\varphi}{2}\big)=2\sin\frac{\varphi}{2}\Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\sqrt 2$

Можно ли такие операции проводить с пределами интегрирования при внесении под дифференциал (то есть там нужно было писать $\frac{\pi}{4}$ или $\frac{\pi}{2}$ после внесения под дифференциал?)

Ввиду симметричности, имеем

$$2\sqrt 2\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos\varphi}\;d\varphi= 4\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\big|\cos\frac{\varphi}{2}\big|\;d\varphi=4\cdot \sqrt 2-2\cdot 4\cdot \sqrt 2+ 4\cdot \sqrt 2=0$$

Да что ж такое творится(((

Если с геометрической точки зрения.

$S_1=4\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\frac{\varphi}{2}\;d\varphi$

$S_2=4\displaystyle\int\limits^{\frac{3\pi}{2}}_{\frac{\pi}{2}}\cos\frac{\varphi}{2}\;d\varphi$

$S_3=\;4\displaystyle\int\limits_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\cos\frac{\varphi}{2}\;d\varphi$

$S_2=2S_1=2S_3$

Мы нашли $S_1=\sqrt{2}$

Значит $S=S_1+S_2+S_3=4\sqrt{2}+8\sqrt{2}+4\sqrt{2}=16\sqrt 2$

Но как это аналитически объяснить? (я про уничтожение минуса)

[ewert]

number_one в сообщении #544972 писал(а):

Но как это аналитически объяснить?

Понятия не не имею и не хочу иметь. Просто поимейте в виду, что все интегралы от модуля косинуса (того, уполовиненного) по всем его четвертьпериодам откровенно одинаковы.

[number_one]

ewert в сообщении #544985 писал(а):

number_one в сообщении #544972 писал(а):

Но как это аналитически объяснить?

Понятия не не имею и не хочу иметь. Просто поимейте в виду, что все интегралы от модуля косинуса (того, уполовиненного) по всем его четвертьпериодам откровенно одинаковы.

Ок, спасибо, что помогли разобраться. Про минус, быть может, догадаюсь сам=)

[bot]

Вот Вы модуль всё-таки написали, а потом разбили на четвертинки, а в них модуля как и не было. На самом деле зачем четвертинки, если для $\cos\frac{\varphi}{2}$ отрезок $[0; 2\pi]$ откровенно разбивается на половинки постоянства знака? В одной половинке модуль косинуса это косинус, а в другой?

Ежели бы заметить с самого начала, что достаточно считать половину длины (это же кардиоида - у неё ось симметрии есть), то и не было бы таких страданий с модулем. То есть здесь бы Вы не попались.

[number_one]

bot в сообщении #545064 писал(а):

Вот Вы модуль всё-таки написали, а потом разбили на четвертинки, а в них модуля как и не было. На самом деле зачем четвертинки, если для $\cos\frac{\varphi}{2}$ отрезок $[0; 2\pi]$ откровенно разбивается на половинки постоянства знака? В одной половинке модуль косинуса это косинус, а в другой?

Ежели бы заметить с самого начала, что достаточно считать половину длины (это же кардиоида - у неё ось симметрии есть), то и не было бы таких страданий с модулем. То есть здесь бы Вы не попались.

Ну такие страдания полезны, чтобы в другой ситуации не наступить на те же грабли.

Да, я ошибся опять, ведь там половинный угол все-таки.

$$2\sqrt 2\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sqrt{1+\cos\varphi}\;d\varphi= 4\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\big|\cos\frac{\varphi}{2}\big|\;d\varphi= 4\displaystyle\int\limits_0^{\pi}\cos\frac{\varphi}{2}\;d\varphi\;-\;4\displaystyle\int\limits_{\pi}^{2\pi}\cos\frac{\varphi}{2}\;d\varphi=4\cdot 2-4\cdot (-2)=16$$

А так - правильно? Похоже, что нет, так как почитал про кардиоиду.

$r = a (1 - \cos\varphi)$

$S = {3\over 2} \pi a^2$

Если $a=2$, то $S=6\pi$

Но ошибок найти не удалось

[bot]

Так правильно. А почему сомневаетесь и при чём здесь площадь, если Вы длину считали?

[number_one]

bot в сообщении #545146 писал(а):

Так правильно. А почему сомневаетесь и при чём здесь площадь, если Вы длину считали?

Точно, мои сомнения беспочвенны, спасибо