Неприводимость и простота в евклидовых кольцах

[Unconnected]

Доказательство, что в евклидовых кольцах то, что элемент неприводим, значит, что он прост, и наоборот. Но, в доказательстве я не увидел, чтобы как-то использовалась евклидовость, только делимость и ассоциированность... (могу его привести, если надо).
И можно пример, где эти два понятия не равносильны? Вообще, правильно я понимаю, что любое поле имеет подполе (порожденное суммами единицы), которое по совместительству евклидово кольцо?

И вот ещё теорема: $K $ - поле, $f \in K[x]/K$.
$f$ - неприводим - $\Leftrightarrow K[x]/<f>$ - поле.
Доказательство: $f$ неприводим $\Leftrightarrow$ f прост (почему это?), (дальше переходы понятны).

[apriv]

Unconnected в сообщении #544706 писал(а):

Доказательство, что в евклидовых кольцах то, что элемент неприводим, значит, что он прост, и наоборот. Но, в доказательстве я не увидел, чтобы как-то использовалась евклидовость, только делимость и ассоциированность...

Плохо смотрели, значит.

Цитата:

И можно пример, где эти два понятия не равносильны?

Пример: в кольце $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ элемент 3 является неприводимым, но не простым.

Цитата:

Вообще, правильно я понимаю, что любое поле имеет подполе (порожденное суммами единицы), которое по совместительству евклидово кольцо?

И вот ещё теорема: $K $ - поле, $f \in K[x]/K$.

Что такое $K[x]/K$?

Цитата:

$f$ - неприводим - $\Leftrightarrow K[x]/<f>$ - поле.
Доказательство: $f$ неприводим $\Leftrightarrow$ f прост (почему это?)

Потому что $K[x]$ — эвклидово кольцо.

[Unconnected]

Цитата:

Что такое $K[x]/K$?

Ой, там просто $K[X]$.

Цитата:

Потому что $K[x]$ — эвклидово кольцо.

Да, если K - поле. А если например $Z[X]$ - то вроде уже и не евклидово кольцо (вроде нам так говорили). А почему? Евклидова норма - та же (степень многочлена), и любой элемент можно представить как $f=1 \cdot f + 0$.. или, может, $Z[x]$ - тоже евклидово? И что такое $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ ?

Вот доказательство, что из простоты элемента в евклидовом кольце следует его неразложимость: пусть $p=xy, x,y \in R$; т.к. $p$ прост, то $p | x$, либо $p | y$, и $x,y$ делят $p$, значит $p$ с каким-то ассоциирован, т.е. неразложим. Где тут используется евклидовость?

[nnosipov]

Unconnected в сообщении #544941 писал(а):

Евклидова норма - та же (степень многочлена) ...

Это не так. Неевклидовость кольца $\mathbb{Z}[x]$ следует из того, что в этом кольце не все идеалы главные.

[Unconnected]

Но ведь под определение евкл.кольца оно подходит? Или нет (почему?)

[apriv]

Unconnected в сообщении #544941 писал(а):

Цитата:

Потому что $K[x]$ — эвклидово кольцо.

Да, если K - поле. А если например $Z[X]$ - то вроде уже и не евклидово кольцо (вроде нам так говорили). А почему? Евклидова норма - та же (степень многочлена)

Попробуйте как-нибудь поделить с остатком относительно этой нормы многочлен $x+1$ на многочлен $2$.

[Unconnected]

Не выйдет. Но ведь определение говорит, что нужно просто наличие представления, - и оно есть в данном случае ($(x+1) \cdot 1$)..

[apriv]

Unconnected в сообщении #544958 писал(а):

Не выйдет. Но ведь определение говорит, что нужно просто наличие представления, - и оно есть в данном случае ($(x+1) \cdot 1$)..

Нет, определение эвклидова кольца говорит чего-то другое. И эвклидова норма на нем задана неспроста.

[Unconnected]

... для любых $a,b\in R,\, b\ne 0$ имеется представление $a = bq + r$, для которого $d(r) < d(b)$.
Норма задана корректно.. с чем тогда противоречит такое представление, умножение на 1?

[apriv]

Unconnected в сообщении #544981 писал(а):

... для любых $a,b\in R,\, b\ne 0$ имеется представление $a = bq + r$, для которого $d(r) < d(b)$.
Норма задана корректно.. с чем тогда противоречит такое представление, умножение на 1?

Ну и где же для многочленов $x+1$ и $2$ такое представление, для которого $d(r)<d(b)$?

[Unconnected]

Аааа мне очень стыдно, невнимательно прочитал(( Кстати, получается, что кольцо без 1 всегда неевклидово.

А есть пример, где элемент прост, но разложим? В обратную сторону я увидел, где в теореме евклидовоть нужна, а вправо не вижу, делимость только используется, ну и ещё наличие 1 нужно.
$\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ это кольцо Z с присоединенным числом в скобках (и соответственными порождёнными)?

[apriv]

Unconnected в сообщении #545002 писал(а):

А есть пример, где элемент прост, но разложим?

В области целостности любой простой элемент неприводим.

[Unconnected]

Спасибо, ясно..