2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Шары и урна [Теория вероятностей]
Сообщение03.03.2012, 20:12 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Здравствуйте уважаемые друзья!
Попалась такая задачка по теории вероятностей, но решить ее я что-то не могу. Нуждаюсь в Вашей помощи.
Из урны содержащей $a$ белых и $b$ черных шаров, последовательно извлекают $n$ шаров. Пусть $A_0^i (A_1^i)$ - событие, состоящее в том, что $i$-й шар был белым (черным). Найти $P\{A_0^k \mid A_{\varepsilon_1}^{1}A_{\varepsilon_2}^{2}\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1} \}$, где $\varepsilon_i=0,1$, если выборка проводился а) с возвращением, б) без возвращений.
Вот моя попытка решения: Сначала рассмотрим случай а), т.е. когда шары обратно возвращаются в урну. Из формулы условной вероятности следует, что: $P\{ A_0^k\mid A_{\varepsilon_1}^1 A_{\varepsilon_1}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}\}=\dfrac{P\{A_{\varepsilon_1}^1 A_{\varepsilon_2}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}A_0^k\}}{P\{A_{\varepsilon_1}^1A_{\varepsilon_2}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}\}};$
Событие $A_{\varepsilon_1}^1 A_{\varepsilon_2}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}A_0^k$ означает, что $k$-й шар белый. Получаем, что:
$P\{A_{\varepsilon_1}^1 A_{\varepsilon_2}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}A_0^k\}=\dfrac{2^{k-1}}{2^k}=\dfrac{1}{2};$
Возникает такой глупый вопрос. :oops:
Вероятность, стоящая в знаменателе чему равна?

С уважением, Whitaker.

-- Сб мар 03, 2012 20:31:56 --

Мне кажется, что $P \{A_{\varepsilon_1}^1A_{\varepsilon_2}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}\}=1$;
В итоге получаем, что:
$P\{A_0^k\mid A_{\varepsilon_1}^1A_{\varepsilon_2}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}\}=\dfrac{1}{2}$; Скажите пожалуйста верно ли я решил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары и урна [Теория вероятностей]
Сообщение03.03.2012, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13760
Позвольте, а где же $a$ и $b$ в ответе?
При выборке с возвращением цвет очередного шара есть событие независимое и его условная вероятность равна безусловной и равна Вашему ответу только в случае $a=b$.

При выборке с возвращение результат будет зависеть от суммы $\sum_{i=1}^{k-1} \varepsilon_i$ и вычислить его очень просто. Состояние урны перед k-той выборкой определяется этой суммой. Ну нужно следить лишь за обнулением какого-то цвета.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары и урна [Теория вероятностей]
Сообщение03.03.2012, 21:32 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Дорогой gris
Я так сделал: Если шары одинакового цвета различимы между собой, то получаем следующее: $\dfrac{a(a+b)^{k-1}}{(a+b)^k}=\dfrac{a}{a+b};$
Но ведь если шары одинакого цвета неразличимы между собой, то ответ получается $\dfrac{1}{2};$
Теперь верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары и урна [Теория вероятностей]
Сообщение03.03.2012, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13760
Конечно, они неразличимы. Начните с нахождения вероятности вынуть белый шар из урны с $a$ белыми и $b$ чёрными шарами. Затем найдите вероятность вынуть белый шар вторым. То же при условии, что первым был вынут чёрный или белый шар с возвращением или без. Затем для третьего шара при различных условиях. На четвёртом шаре понимание и придёт.

А, сделали. Для чего там $k$ нужно и возведение в степень?
Так вот. Вам задан массив эпсилонов для предыдущих изъятий. Он имеет значение только для выборки без возвращения. Массив показывает, сколько каких шаров было вынуто. Порядок тоже не важен. Но Вам лучше потренироваться на простых случаях. Пока подсказка в силе: ответ будет зависеть от суммы эпсилонов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары и урна [Теория вероятностей]
Сообщение03.03.2012, 22:02 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Я только хочу добавить, что возможно одним из смыслов задачи является формально по формулам доказать, что в случае выборки с возвращением предыстория действительно не влияет на вероятность. Не исключаю, что если принять это как данность, то решение могут не зачесть.

Также замечу, что помимо формального решения здесь нужно смотреть, чтобы было четкое понимание, что же на самом деле происходит. Критерием такого понимания является то, что ответы в обоих случаях должны быть понятны сразу и заранее до каких-либо вычислений и формул.

(Замудрил. Короче: задача должна восприниматься как устная).

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары и урна [Теория вероятностей]
Сообщение03.03.2012, 22:23 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
PAV
Я так отвечу: Ну для такого большого специалиста, как Вы - эта устная задача. А я все-таки начинающий в этой области и для меня она не устная!

-- Сб мар 03, 2012 22:25:44 --

gris
А вообще ответ задачи зависит от этих эпсилонов?
Кстати, у меня ответ вышел $\dfrac{a}{a+b}$. Это правильный ответ для схемы с возвращением?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары и урна [Теория вероятностей]
Сообщение03.03.2012, 22:39 


23/12/07
1636
Вообще, тут почему-то никто не говорит о важности того, какие конкретно базовые положения допускается использовать при решении этой задачи. Как минимум возможны следующие:
1) все наборы вытаскиваний равновозможны. Тогда нужно идти от абсолютных вероятностей к расчету условной по формуле P(AB)/P(B).
2) условная вероятность такая же, как и безусловная в подходящим образом организованном "условном" эксперименте. Тогда не надо никакие формулы условной вероятности - ее напрямую надо считать, исходя из схемы случаев для соответствующего "условного" опыта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары и урна [Теория вероятностей]
Сообщение03.03.2012, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13760
Да. Теперь найдите, скажем, $P\{A_0^3 \mid A_{1}^{1}A_{1}^{2} \}$.
Важно в этих обозначениях видеть процесс. Я уже повторяюсь, но если задачу сформулировать попроще, то она действительно не потребует сложных вычислений.
Из урны, содержащей 5 белых и 8 чёрных шаров изъяли 3 белых и 2 чёрных шара. Найти вероятность того, что следующим будет вынут белый шар.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары и урна [Теория вероятностей]
Сообщение03.03.2012, 22:48 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
gris
$P\{A_0^3 \mid A_1^1 A_1^2\}=\dfrac{ab^2}{(a+b)^3}$
Также хотел бы Вам рассказать про решение для схемы выборки без возвращения.
В данном случае пространство элементарных событий можно представить как все возможные перестановки с повторениями из $a$ белых и $b$ черных шаров. Их общее число $\dfrac{(a+b)!}{a!\cdot b!}$. Число перестанановок у которых на $k$-м месте стоит белый шар равно $\dfrac{(a+b-1)!}{(a-1)!\cdot b!}$. Искомая вероятность и в этом случае равна $\dfrac{a}{a+b}$. Верно ли мое рассуждение и полученный ответ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары и урна [Теория вероятностей]
Сообщение03.03.2012, 22:58 


23/12/07
1636
2Whitaker
Условная вероятность - это не просто дробь из безусловных. Она имеет самостоятельную содержательную интерпретацию, которую вы, решая эти задачи, и должны научиться использовать. А вы здесь все пытаетесь через полную вероятность просчитать. ИМХО, это не совсем верно методически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары и урна [Теория вероятностей]
Сообщение03.03.2012, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13760
Это у Вас предвыборное. Первый ответ неверен.

Рассуждение верное. Вы получили безусловную вероятность того, что k-тым будет вынут белый шар. Как видите, она от $k$ не зависит. Рассуждайте так и дальше. Ищите число перестановок с фиксированными первыми $k-1$ местами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары и урна [Теория вероятностей]
Сообщение03.03.2012, 23:02 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Ответ $\dfrac{a}{a+b}$ правильный?

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары и урна [Теория вероятностей]
Сообщение03.03.2012, 23:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13760
Этот ответ верен для случая с возвращением. В котором условная вероятность равна безусловной при любых допустимых значениях $k$ и эпсилонов.

Этот ответ также годится для безусловной вероятности вынимания белого шара в случае в невозвращением. Но в задаче такой вопрос не ставится.

В случае с невозвращением (Изъятием. Интересно, есть такой термин, или я его придумал?) ответ будет зависеть от эпсилонов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары и урна [Теория вероятностей]
Сообщение03.03.2012, 23:11 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
gris
спасибо за подсказку! У нас уже поздно!
Я подумаю над этим пунктом и завтра напишу решение.
Спокойной ночи! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Шары и урна [Теория вероятностей]
Сообщение04.03.2012, 09:54 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
gris
к сожалению для схемы выборки без возвращения у меня ничего не получается.
Получается, что $P\{ A_0^k\mid A_{\varepsilon_1}^1 A_{\varepsilon_1}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}\}=\dfrac{P\{A_{\varepsilon_1}^1 A_{\varepsilon_2}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}A_0^k\}}{P\{A_{\varepsilon_1}^1A_{\varepsilon_2}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}\}}$, но вероятность знаменателя и числителя я посчитать не могу. Дайте подсказку пожалуйста

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group