Шары и урна [Теория вероятностей]

[Whitaker]

Здравствуйте уважаемые друзья!
Попалась такая задачка по теории вероятностей, но решить ее я что-то не могу. Нуждаюсь в Вашей помощи.
Из урны содержащей $a$ белых и $b$ черных шаров, последовательно извлекают $n$ шаров. Пусть $A_0^i (A_1^i)$ - событие, состоящее в том, что $i$-й шар был белым (черным). Найти $P\{A_0^k \mid A_{\varepsilon_1}^{1}A_{\varepsilon_2}^{2}\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1} \}$, где $\varepsilon_i=0,1$, если выборка проводился а) с возвращением, б) без возвращений.
Вот моя попытка решения: Сначала рассмотрим случай а), т.е. когда шары обратно возвращаются в урну. Из формулы условной вероятности следует, что: $P\{ A_0^k\mid A_{\varepsilon_1}^1 A_{\varepsilon_1}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}\}=\dfrac{P\{A_{\varepsilon_1}^1 A_{\varepsilon_2}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}A_0^k\}}{P\{A_{\varepsilon_1}^1A_{\varepsilon_2}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}\}};$
Событие $A_{\varepsilon_1}^1 A_{\varepsilon_2}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}A_0^k$ означает, что $k$-й шар белый. Получаем, что:
$P\{A_{\varepsilon_1}^1 A_{\varepsilon_2}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}A_0^k\}=\dfrac{2^{k-1}}{2^k}=\dfrac{1}{2};$
Возникает такой глупый вопрос.
Вероятность, стоящая в знаменателе чему равна?

С уважением, Whitaker.

-- Сб мар 03, 2012 20:31:56 --

Мне кажется, что $P \{A_{\varepsilon_1}^1A_{\varepsilon_2}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}\}=1$;
В итоге получаем, что:
$P\{A_0^k\mid A_{\varepsilon_1}^1A_{\varepsilon_2}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}\}=\dfrac{1}{2}$; Скажите пожалуйста верно ли я решил?

[gris]

Позвольте, а где же $a$ и $b$ в ответе?
При выборке с возвращением цвет очередного шара есть событие независимое и его условная вероятность равна безусловной и равна Вашему ответу только в случае $a=b$.

При выборке с возвращение результат будет зависеть от суммы $\sum_{i=1}^{k-1} \varepsilon_i$ и вычислить его очень просто. Состояние урны перед k-той выборкой определяется этой суммой. Ну нужно следить лишь за обнулением какого-то цвета.

[Whitaker]

Дорогой gris
Я так сделал: Если шары одинакового цвета различимы между собой, то получаем следующее: $\dfrac{a(a+b)^{k-1}}{(a+b)^k}=\dfrac{a}{a+b};$
Но ведь если шары одинакого цвета неразличимы между собой, то ответ получается $\dfrac{1}{2};$
Теперь верно?

[gris]

Конечно, они неразличимы. Начните с нахождения вероятности вынуть белый шар из урны с $a$ белыми и $b$ чёрными шарами. Затем найдите вероятность вынуть белый шар вторым. То же при условии, что первым был вынут чёрный или белый шар с возвращением или без. Затем для третьего шара при различных условиях. На четвёртом шаре понимание и придёт.

А, сделали. Для чего там $k$ нужно и возведение в степень?
Так вот. Вам задан массив эпсилонов для предыдущих изъятий. Он имеет значение только для выборки без возвращения. Массив показывает, сколько каких шаров было вынуто. Порядок тоже не важен. Но Вам лучше потренироваться на простых случаях. Пока подсказка в силе: ответ будет зависеть от суммы эпсилонов.

[PAV]

Я только хочу добавить, что возможно одним из смыслов задачи является формально по формулам доказать, что в случае выборки с возвращением предыстория действительно не влияет на вероятность. Не исключаю, что если принять это как данность, то решение могут не зачесть.

Также замечу, что помимо формального решения здесь нужно смотреть, чтобы было четкое понимание, что же на самом деле происходит. Критерием такого понимания является то, что ответы в обоих случаях должны быть понятны сразу и заранее до каких-либо вычислений и формул.

(Замудрил. Короче: задача должна восприниматься как устная).

[Whitaker]

PAV
Я так отвечу: Ну для такого большого специалиста, как Вы - эта устная задача. А я все-таки начинающий в этой области и для меня она не устная!

-- Сб мар 03, 2012 22:25:44 --

gris
А вообще ответ задачи зависит от этих эпсилонов?
Кстати, у меня ответ вышел $\dfrac{a}{a+b}$. Это правильный ответ для схемы с возвращением?

[_hum_]

Вообще, тут почему-то никто не говорит о важности того, какие конкретно базовые положения допускается использовать при решении этой задачи. Как минимум возможны следующие:
1) все наборы вытаскиваний равновозможны. Тогда нужно идти от абсолютных вероятностей к расчету условной по формуле P(AB)/P(B).
2) условная вероятность такая же, как и безусловная в подходящим образом организованном "условном" эксперименте. Тогда не надо никакие формулы условной вероятности - ее напрямую надо считать, исходя из схемы случаев для соответствующего "условного" опыта.

[gris]

Да. Теперь найдите, скажем, $P\{A_0^3 \mid A_{1}^{1}A_{1}^{2} \}$.
Важно в этих обозначениях видеть процесс. Я уже повторяюсь, но если задачу сформулировать попроще, то она действительно не потребует сложных вычислений.
Из урны, содержащей 5 белых и 8 чёрных шаров изъяли 3 белых и 2 чёрных шара. Найти вероятность того, что следующим будет вынут белый шар.

[Whitaker]

gris
$P\{A_0^3 \mid A_1^1 A_1^2\}=\dfrac{ab^2}{(a+b)^3}$
Также хотел бы Вам рассказать про решение для схемы выборки без возвращения.
В данном случае пространство элементарных событий можно представить как все возможные перестановки с повторениями из $a$ белых и $b$ черных шаров. Их общее число $\dfrac{(a+b)!}{a!\cdot b!}$. Число перестанановок у которых на $k$-м месте стоит белый шар равно $\dfrac{(a+b-1)!}{(a-1)!\cdot b!}$. Искомая вероятность и в этом случае равна $\dfrac{a}{a+b}$. Верно ли мое рассуждение и полученный ответ?

[_hum_]

2Whitaker
Условная вероятность - это не просто дробь из безусловных. Она имеет самостоятельную содержательную интерпретацию, которую вы, решая эти задачи, и должны научиться использовать. А вы здесь все пытаетесь через полную вероятность просчитать. ИМХО, это не совсем верно методически.

[gris]

Это у Вас предвыборное. Первый ответ неверен.

Рассуждение верное. Вы получили безусловную вероятность того, что k-тым будет вынут белый шар. Как видите, она от $k$ не зависит. Рассуждайте так и дальше. Ищите число перестановок с фиксированными первыми $k-1$ местами.

[Whitaker]

Ответ $\dfrac{a}{a+b}$ правильный?

[gris]

Этот ответ верен для случая с возвращением. В котором условная вероятность равна безусловной при любых допустимых значениях $k$ и эпсилонов.

Этот ответ также годится для безусловной вероятности вынимания белого шара в случае в невозвращением. Но в задаче такой вопрос не ставится.

В случае с невозвращением (Изъятием. Интересно, есть такой термин, или я его придумал?) ответ будет зависеть от эпсилонов.

[Whitaker]

gris
спасибо за подсказку! У нас уже поздно!
Я подумаю над этим пунктом и завтра напишу решение.
Спокойной ночи!

[Whitaker]

gris
к сожалению для схемы выборки без возвращения у меня ничего не получается.
Получается, что $P\{ A_0^k\mid A_{\varepsilon_1}^1 A_{\varepsilon_1}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}\}=\dfrac{P\{A_{\varepsilon_1}^1 A_{\varepsilon_2}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}A_0^k\}}{P\{A_{\varepsilon_1}^1A_{\varepsilon_2}^2\cdots A_{\varepsilon_{k-1}}^{k-1}\}}$, но вероятность знаменателя и числителя я посчитать не могу. Дайте подсказку пожалуйста