Помогите решить неравенство с логарифмами

[shau-kote]

Помогите, пожалуйста, решить данное неравенство:
$\log_{x+{\frac 2 9}} 3 \geqslant \log_{\sqrt{x}} 3$
Вроде выглядит очень просто, но никак не получается решить. :(
Заранее благодарен за любую помощь и подсказки.

[AV_77]

$\log_ab = \frac{\log_cb}{\log_ca}$

[gris]

Я бы разбил числовую прямую на 6 очевидных интервалов и поанализировал неравенство на каждом. Всё равно этого не избежать, даже если перейти к основанию 3.

[spaits]

Просто надо найти ОДЗ, потом перейти к основанию $3$, а дальше неравенство решается просто.

-- Пт мар 02, 2012 21:47:09 --

Можно применить метод интервалов, в ОДЗ интервалов всего три.

[spaits]

ОДЗ определяется системой: $x>0; x\not=\frac{7}{9}; x\not=1$.
Это три интервала.

[gris]

Я кроме ОДЗ ещё рассматривал значения, при которых основания равны друг другу, ибо там тоже кое-что происходит. А в качестве первого интервала взял неположительные значения. Там правая часть не определена и интервал в ответ не входит.

[ewert]

spaits в сообщении #544715 писал(а):

Можно применить метод интервалов, в ОДЗ интервалов всего три.

А в методе интервалов (раз уж Вы предлагаете именно его) -- естественно, пять. Надо ведь ещё перенести всё в одну часть и привести к общему знаменателю. Ваши точки -- это корни знаменателя, а в придачу будет ещё и пара корней у числителя.

[spaits]

Я имела ввиду, что будет три интервала, в каждом из которых решаем разные системы неравенств.
А именно, после всех процедур, указанных Вами, получаем для первого и третьего интервалов неравенство $\log_3\dfrac{x+\frac29}{\sqrt{x}}\leqslant0$, решением которого в первом из указанных интервалов является интервал $x\in[\frac19;\frac49]$ (конечные точки интервала - точки, про которые Вы сказали, что там что-то происходит), а в третьем из интервалов ОДЗ решений нет. Для второго интервала ОДЗ неравенство принимает вид $\log_3\dfrac{x+\frac29}{\sqrt{x}}\geqslant0$, при этом весь второй интервал ОДЗ $x\in(\frac79;1)$ является решением исходного неравенства.
Точки, где в исходном уравнении равны основания, из ОДЗ специально не нужно выделять. Они входят в ОДЗ.

[ewert]

Раз уж Вы предложили метод интервалов -- будьте последовательны:

$\dfrac{\log_3\frac{x+\frac29}{\sqrt x}}{\log_3(x+\frac29)\cdot\log_3\sqrt x}\leqslant0.$

Достаточно очевидно, что в каждом из четырёх корней как числителя, так и знаменателя это выражение меняет знак. И при этом на бесконечности откровенно положительно. Это позволяет сразу же выписать ответ, безо всякого дальнейшего анализа.

[gris]

Эта достаточная очевидность и есть ровно тот же самый анализ, только без утомительного преобразования неравенства к чудовищно неудобоваримой конструкции, применения свойств логарифмов вместе с необходимостью обосновывать на каждом шаге равносильность. Конечно, любителям всё усложнять это даже может показаться красивым. Хотя мне тоже нравятся красиво оформленные и выровненные формулы. Я бы решение ещё и разноцветными графиками дополнил (без логарифмов, конечно).

[bot]

(Оффтоп)

Интересно сколько ещё надо, чтобы ТС не выдержал?

[spaits]

gris в сообщении #544838 писал(а):

Я бы решение ещё и разноцветными графиками дополнил

ОДЗ всяко бедно сначала надо найти.

[bot]

Вот уж с чего бы не начинал, так это с ОДЗ.

(Оффтоп)

Впрочем я вообще не признаю её в том виде, в каком её пошлюют, да ещё и искать заставляют. Кто решает, тому и решать, что допускать к рассмотрению, а что отбросить, как заведомо непригодное. Кто меньше отбросит, кто больше, а оракул отбросит всё, кроме ответа.

[ewert]

bot в сообщении #544934 писал(а):

Вот уж с чего бы не начинал, так это с ОДЗ.

Этого в данном случае никак нельзя: это ведь неравенство, а не уравнение.

[spaits]

Именно надо начинать с ОДЗ функций, входящих в неравенство. Или в равенство, если бы это было уравнение.

-- Сб мар 03, 2012 20:22:56 --

bot в сообщении #544934 писал(а):

Вот уж с чего бы не начинал, так это с ОДЗ.

Почему тогда не включили точку $x=0$ в ответ? Как узнали, что ее надо исключить?