Найти следующее число в последовательности

[Ktina]

2, 17, 109, 193, 251, ?

Согласна, что подобные задачи не совсем математичны. Тем не менее, на олимпиадах они предлагаются не так уж и редко.

[e2e4]

0.

Цитата:

подобные задачи не совсем математичны

Подобные "задачи" - не задачи вовсе, а бессмысленный набор чисел + стандартное словесное клише.

Цитата:

Тем не менее, на олимпиадах они предлагаются не так уж и редко.

Что не делает постановку данных "задач" менее бессмысленной, мне жаль людей, которым попадаются подобное на олимпиадах и прочих испытаниях. Чем быстрее все организаторы олимпиад и прочих испытаний поймут это, и правилами запретят подобные "задачи", тем будет лучше.

Продолжить последовательность

[hippie]

433 устроит?
(И далее 1373; 7681; 1459; 3001; 2663; 3457; 13183;…)

Правило не пишу, потому что могут найтись ещё желающие решить эту задачу.

[Ktina]

hippie в сообщении #541508 писал(а):

433 устроит?
(И далее 1373; 7681; 1459; 3001; 2663; 3457; 13183;…)

Правило не пишу, потому что могут найтись ещё желающие решить эту задачу.

Вы, случайно, не инопланетянин?
Я была уверена, что никто не решит.
Правило тоже пока писать не буду, вдруг ещё кто-нибудь догадается (хотя вряд ли).

[hippie]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #541516 писал(а):

Вы, случайно, не инопланетянин?

Да . А Вы сомневались ?

Пока остальные ищут правило в Вашей последовательности, предлагаю Вам подумать над другой простой последовательностью:

?
172
937
415
361
738
?

Какие числа должны стоять на месте вопросительных знаков? (Т.е. какие числа идут перед 172 и после 738).

[profrotter]

Заданная последовательность $x_0=2,x_1=17,x_2=109,x_3=193,x_4=251$.

Продолжим последовательность так, чтобы выполнялось

$$x_n=ax_{n-1}+bx_{n-2}+cx_{n-3}$$

Неизвестные коэффициенты можно определить из системы уравнений

$$ax_2+bx_1+cx_0=x_3$$

$$ax_3+bx_2+cx_1=x_4$$

Принимая $b=0$ и подставляя значения, систему уравнений перепишем в виде:

$$109a+2c=193$$

$$193a+17c=251$$

Решая систему уравнений, находим: $a=1,894342;b=-6,74165$. Следующее число последовательности $x_5=-259,359918$.

То есть мы определили некоторое правило, которое связывает элементы последовательности между собою на известном её фрагменте и предполагаем, что оно будет связывать и неизвестные элементы последовательности.

Попробуйте теперь сказать, что я не продолжил последовательность. Более того, может прийти любой дядя Вася и предложить другое правило продолжения последовательности, конкретизировать его так, чтобы оно выполнялась на заданном фрагменте последовательности и предположить, что оно будет выполняться и далее.

И беда тут не в том, что задача "не совсем математична", как Вы изволили написать выше, а в том, что постановка задачи некорректна. Когда вы просите продолжить последовательность, то предполагаете, что решающий отыщет некоторое правило продолжения последовательности, которое работает на том фрагменте последовательности, который Вы предоставили, и предположит, что это же правило будет работать и дальше, позволяя получать значения неизвестных членов последовательности. Однако, правил этих может быть придумано сколько угодно. (Самый хитрый ленивый дядя Вася вообще скажет, что элементы последовательности между собою никак не связаны и назовёт любое число, которое пришло ему в голову, следующим. Чем не правило? )

Чтобы сделать задачу корректной следует просить не продолжать последовательность, а просить отыскать правило, которое эту последовательность описывает. При этом можно требовать найти общий вид члена последовательности или найти выражение некоторого $n$-го элемента через заданное количество предыдущих. Например, требовать найти такое правило $F$, что:

$$x_n=F(n)$$

или

$$x_n=F(x_{n-1}),$$

или

$$x_n=F(x_{n-1},...,x_{n-k}),$$

где $k<n$ - известно.

При таком подходе задача является корректной в том смысле, что несмотря на возможную неоднозначность её решения, оказывается возможной проверка правильности этого решения. А уже то, что мы полученное правило будем использовать для продолжения последовательности - вопрос второстепенный.

[vorvalm]

В условии задачи нет прямого указания на то, что числа последовательности - простые числа, но это видно из контекста.

[hippie]

Ответ на мой вопрос о последовательности. Недостающие числа 513 и 997.

Выписываются простые числа вида $4n+1$:
5 13 17 29 37 41 53 61 73 89 97.
После этого производится переразбивка: цифры группируются по 3:
513 172 937 415 361 738 997.

Подобные последовательности были очень популярны у математиков-олимпиадников в начале 80-х годов.
Самые предлагаемые в то время последовательности:

? ? 113 151 719 212 325 ?
Ответ: 135, 791; 272.
Использованы нечётные числа:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 2(9).

? 111 317 192 329 313 ?
Ответ: 357; 741.
Использованы нечётные простые числа:
3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41.