Заданная последовательность
.
Продолжим последовательность так, чтобы выполнялось
Неизвестные коэффициенты можно определить из системы уравнений
Принимая
и подставляя значения, систему уравнений перепишем в виде:
Решая систему уравнений, находим:
. Следующее число последовательности
.
То есть мы определили некоторое правило, которое связывает элементы последовательности между собою на известном её фрагменте и предполагаем, что оно будет связывать и неизвестные элементы последовательности.
Попробуйте теперь сказать, что я не продолжил последовательность. Более того, может прийти любой дядя Вася и предложить другое правило продолжения последовательности, конкретизировать его так, чтобы оно выполнялась на заданном фрагменте последовательности и предположить, что оно будет выполняться и далее.
И беда тут не в том, что задача "не совсем математична", как Вы изволили написать выше, а в том, что постановка задачи некорректна. Когда вы просите продолжить последовательность, то предполагаете, что решающий отыщет некоторое правило продолжения последовательности, которое работает на том фрагменте последовательности, который Вы предоставили, и предположит, что это же правило будет работать и дальше, позволяя получать значения неизвестных членов последовательности. Однако, правил этих может быть придумано сколько угодно. (Самый хитрый ленивый дядя Вася вообще скажет, что элементы последовательности между собою никак не связаны и назовёт любое число, которое пришло ему в голову, следующим. Чем не правило?
)
Чтобы сделать задачу корректной следует просить не продолжать последовательность, а просить отыскать правило, которое эту последовательность описывает. При этом можно требовать найти общий вид члена последовательности или найти выражение некоторого
-го элемента через заданное количество предыдущих. Например, требовать найти такое правило
, что:
или
или
где
- известно.
При таком подходе задача является корректной в том смысле, что несмотря на возможную неоднозначность её решения, оказывается возможной проверка правильности этого решения. А уже то, что мы полученное правило будем использовать для продолжения последовательности - вопрос второстепенный.