Три простых числа

[Ktina]

Найти три наименьших простых числа, не представимых в виде модуля разности степени двойки (с ЦНП) и степени тройки (с ЦНП).
(ЦНП - целый неотрицательный показатель)

Или, в более математичной формулировке, не представимых в виде $|2^{n\in\mathbb N_0}-3^{m\in\mathbb N_0}|$

[arqady]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #544210 писал(а):

Или, в более математичной формулировке, не представимых в виде $|2^{n\in\mathbb N_0}-3^{m\in\mathbb N_0}|$

איזו זוועה

[Ktina]

arqady в сообщении #544308 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #544210 писал(а):

Или, в более математичной формулировке, не представимых в виде $|2^{n\in\mathbb N_0}-3^{m\in\mathbb N_0}|$

איזו זוועה

(Оффтоп)

אתה צודק לחלוטין, מיד אתקן
Вы абсолютно правы, тотчас исправлю.

Вместо
$|2^{n\in\mathbb N_0}-3^{m\in\mathbb N_0}|$
следует читать
$|2^{n}-3^{m}|$, где $n, m\in\mathbb N_0$

[hippie]

Ответ: 41, 43, 53.

Все 3 проверяются сначала по модулю 8, потом по модулю 10, и наконец по модулю 3.

Для всех меньших простых представление указывается явно.

[hippie]

Появилось немного свободного времени. Распишу подробнее.

$3^m$ по модулю 8 может быть сравнимо только с 1 или 3 (с 1 при чётном $m,$ с 3 — при нечётном).

41:
Если 41 представляется в нужном виде, то $41=3^m-2^n,$ где $m$ чётное.
Замечаем теперь, что если $m$ кратно 4, то $3^m-41$ заканчивается на 0, и, следовательно, не может быть степенью двойки.
Если $m$ чётное, но не кратное 4, то $2^n$ заканчивается на 8, и, следовательно, $n=4k+3.$ Но, в таком случае, $3^m=41+2^{4k+3}=41+8\cdot16^k$ не кратно 3.
Получили противоречие.

43:
Если 43 представляется в нужном виде, то $43=3^m-2^n,$ где $m$ нечётное.
Замечаем теперь, что если $m$ сравнимо с 1 по модулю 4, то $3^m-43$ заканчивается на 0, и, следовательно, не может быть степенью двойки.
Если $m$ сравнимо с 3 по модулю 4, то $2^n$ заканчивается на 4, и, следовательно, $n=4k+2.$ Но, в таком случае, $3^m=43+2^{4k+2}=43+4\cdot16^k$ не кратно 3.
Получили противоречие.

53:
Если 53 представляется в нужном виде, то $53=2^n-3^m,$ где $m$ нечётное.
Замечаем теперь, что если $m$ сравнимо с 3 по модулю 4, то $3^m+53$ заканчивается на 0, и, следовательно, не может быть степенью двойки.
Если $m$ сравнимо с 1 по модулю 4, то $2^n$ заканчивается на 6, и, следовательно, $n=4k.$ Но, в таком случае, $3^m=2^{4k}-53=16^k-53$ не кратно 3.
Получили противоречие.

Меньшие простые числа:

$2=3-1; 3=4-1; 5=9-4; 7=16-9; 11=27-16; 13=16-3; 17=81-64; 19=27-8; 23=27-4; 29=32-3; 31=32-1; 37=64-27; 47=128-81.$