2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Три простых числа
Сообщение01.03.2012, 15:49 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Найти три наименьших простых числа, не представимых в виде модуля разности степени двойки (с ЦНП) и степени тройки (с ЦНП).
(ЦНП - целый неотрицательный показатель)

Или, в более математичной формулировке, не представимых в виде $|2^{n\in\mathbb N_0}-3^{m\in\mathbb N_0}|$

 Профиль  
                  
 
 Re: Три простых числа
Сообщение01.03.2012, 18:57 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #544210 писал(а):

Или, в более математичной формулировке, не представимых в виде $|2^{n\in\mathbb N_0}-3^{m\in\mathbb N_0}|$

איזו זוועה

 Профиль  
                  
 
 Re: Три простых числа
Сообщение01.03.2012, 19:05 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
arqady в сообщении #544308 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #544210 писал(а):

Или, в более математичной формулировке, не представимых в виде $|2^{n\in\mathbb N_0}-3^{m\in\mathbb N_0}|$

איזו זוועה

(Оффтоп)

אתה צודק לחלוטין, מיד אתקן
Вы абсолютно правы, тотчас исправлю.

Вместо
$|2^{n\in\mathbb N_0}-3^{m\in\mathbb N_0}|$
следует читать
$|2^{n}-3^{m}|$, где $n, m\in\mathbb N_0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Три простых числа
Сообщение01.03.2012, 22:16 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Ответ: 41, 43, 53.

Все 3 проверяются сначала по модулю 8, потом по модулю 10, и наконец по модулю 3.

Для всех меньших простых представление указывается явно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три простых числа
Сообщение02.03.2012, 00:06 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Появилось немного свободного времени. Распишу подробнее.

$3^m$ по модулю 8 может быть сравнимо только с 1 или 3 (с 1 при чётном $m,$ с 3 — при нечётном).

41:
Если 41 представляется в нужном виде, то $41=3^m-2^n,$ где $m$ чётное.
Замечаем теперь, что если $m$ кратно 4, то $3^m-41$ заканчивается на 0, и, следовательно, не может быть степенью двойки.
Если $m$ чётное, но не кратное 4, то $2^n$ заканчивается на 8, и, следовательно, $n=4k+3.$ Но, в таком случае, $3^m=41+2^{4k+3}=41+8\cdot16^k$ не кратно 3.
Получили противоречие.

43:
Если 43 представляется в нужном виде, то $43=3^m-2^n,$ где $m$ нечётное.
Замечаем теперь, что если $m$ сравнимо с 1 по модулю 4, то $3^m-43$ заканчивается на 0, и, следовательно, не может быть степенью двойки.
Если $m$ сравнимо с 3 по модулю 4, то $2^n$ заканчивается на 4, и, следовательно, $n=4k+2.$ Но, в таком случае, $3^m=43+2^{4k+2}=43+4\cdot16^k$ не кратно 3.
Получили противоречие.

53:
Если 53 представляется в нужном виде, то $53=2^n-3^m,$ где $m$ нечётное.
Замечаем теперь, что если $m$ сравнимо с 3 по модулю 4, то $3^m+53$ заканчивается на 0, и, следовательно, не может быть степенью двойки.
Если $m$ сравнимо с 1 по модулю 4, то $2^n$ заканчивается на 6, и, следовательно, $n=4k.$ Но, в таком случае, $3^m=2^{4k}-53=16^k-53$ не кратно 3.
Получили противоречие.

Меньшие простые числа:

$2=3-1;

3=4-1;

5=9-4;

7=16-9;

11=27-16;

13=16-3;

17=81-64;

19=27-8;

23=27-4;

29=32-3;

31=32-1;

37=64-27;

47=128-81.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group