нить на катушке

[Oleg Zubelevich]

Имеется катушка радиуса $R$, ось катушки неподвижна и расположена горизонтально. Катушка может крутиться вокруг своей оси без трения, момент инерции катушки относительно оси -- $J$.
На катушку намотана тонкая однородная нитка массы $m$ и длины $l$. Нитка не проскальзывает по катушке.
Конец нитки длины $x_0$ свешивается, благодаря чему под действием силы тяжести катушка начинает разматываться. Найти зависимость угловой скорости катушки от времени.

[ewert]

$\dfrac{mR\varphi}l\cdot\dfrac{gR\varphi}2-\dfrac{mgx_0^2}2=J\dot\varphi^2+mR^2\dot\varphi^2,\ \ R\varphi_0=x_0,\ \ \varphi=\varphi_0\cdot\ch(Ct).\ $ Почему это неверно?...

[anik]

ewert в сообщении #544132 писал(а):

Почему это неверно?..

Прежде всего потому, что момент инерции катушки будет зависеть от времени.

[Oleg Zubelevich]

ewert Вы не могли бы прокомментировать формулу. Справа стоит кинитическая энергия как будто катушка вращается вместе с намотанной полностью на нее ниткой. что слева не пойму...

Давайте попробуем разобраться в Вашем решении, но ответ другой.

[ewert]

anik в сообщении #544135 писал(а):

Прежде всего потому, что момент инерции катушки будет зависеть от времени.

Это правильно, конечно, но это я просто по рассеянности забыл добавить соотв. дробь в правую часть (хотя и собирался; но по ходу редактирования забыл о ней и решал уже то, что получилось). Главная ошибка у меня в другом.

Oleg Zubelevich в сообщении #544139 писал(а):

Справа стоит кинитическая энергия как будто катушка вращается вместе с намотанной полностью на нее ниткой. что слева не пойму...

Слева -- естественно, изменение потенциальной энергии, вот оно-то существенно неверно. Пока что лень разбираться.

[obar]

ewert в сообщении #544148 писал(а):

вот оно-то существенно неверно.

Да вроде все просто

$$ \frac{J\dot{\varphi}^2}{2}+\frac{mR^2\dot{\varphi}^2}{2}-\frac{mg(x_0+R\varphi)^2}{2l}=-\frac{mgx_0^2}{2l}. $$

Диффур элементарно интегрируется.

[Oleg Zubelevich]

это неправильное уравнение

[anik]

Будем считать, что $m$ это не масса всей нити, а масса единицы длины нити. Так проще, чтобы в знаменателе не было $l$. Ещё будем считать, что $\varphi$ это угол поворота катушки - переменная, зависящая от времени, тогда:
$x=R\varphi+x_0$ - свисающая часть нити,
$mg(R\varphi+x_0)$ - сила веса свисающей части нити,
$M(t)=mgR(R\varphi+x_0)$ - момент силы, приложенный к катушке.
Найдём момент инерции катушки.
$J(t)=J+m(l-R\varphi-x_0)R^2$
Найдём угловое ускорение катушки $\ddot\varphi=M(t)J(t)$

$$\ddot\varphi=mgR(R\varphi+x_0)[J+m(l-R\varphi-x_0)R^2]$$

Может, где ошибся?

[obar]

Oleg Zubelevich в сообщении #544165 писал(а):

это неправильное уравнение

Можно узнать почему? Неужели предполагалось учитывать, что нить отрывается от катушки не под углом $\pi/2$ и потому имеет горизонтальную компоненту скорости (а значит ее центр масс не находится на расстоянии $(x_0+R\varphi)/2$)? Тогда это просто ужас, а не задача.

[Oleg Zubelevich]

obar в сообщении #544170 писал(а):

Неужели предполагалось учитывать, что нить отрывается от катушки не под углом $\pi/2$

нет конечно, нить свисает вертикально, но формула неправильная

[ewert]

anik в сообщении #544169 писал(а):

$M(t)=mgR(R\varphi+x_0)$ - момент силы, приложенный к катушке.

Это неверно.

[anik]

ewert в сообщении #544182 писал(а):

anik в сообщении #544169 писал(а):

$M(t)=mgR(R\varphi+x_0)$ - момент силы, приложенный к катушке.

Это неверно.

Вы не забыли, что у меня $m$ - это не масса всей нити, а масса единицы длины нити?

[ewert]

Вроде бы так на самом деле:

$$\dfrac{mgx^2}{2l}-\dfrac{mgR^2}{l}\left(1-\cos\dfrac{l-x}{R}\right)-\dfrac{mgx_0^2}{2l}+\dfrac{mgR^2}{l}\left(1-\cos\dfrac{l-x_0}{R}\right)=\dfrac{J\dot x^2}{2R^2}+\dfrac{m\dot x^2}{2}$$

anik в сообщении #544186 писал(а):

Вы не забыли, что у меня $m$ - это не масса всей нити, а масса единицы длины нити?

Нет, не забыл.

[anik]

ewert в сообщении #544182 писал(а):

anik в сообщении #544169 писал(а):

$M(t)=mgR(R\varphi+x_0)$ - момент силы, приложенный к катушке.

Это неверно.

Тогда объясните, что здесь по-вашему неверно!

[ewert]

anik в сообщении #544205 писал(а):

что здесь по-вашему неверно!

Вы не учли, что катушка с намотанным участком нити не сбалансирована.