Неподвижная точка карты

[marqueewinq]

Всем здравствуйте ;)
Возникла проблема с решением задачки, буду рад комментариям.
Собственно, имеется прямоугольный зал. Имеется его карта. Карта положена на пол зала произвольным образом.
Нужно найти такую точку, что точка на карте соответствует той точки зала, на которой "она лежит".
Иными словами, если F((x;y)) - отображение зала на карту, то найти точку P: F(P) = P.

Даны координаты всех четыре углов карты в системе координат зала, даны стороны зала.

Спасибо ;)

[Cash]

Отображение F - это суперпозиция сжатия, поворота и переноса. Найдите коэффициент сжатия, матрицу поворота и вектор переноса. Все это не должно вызвать затруднений. Далее почитайте теорему Банаха о неподвижной точке и ее доказательство. Оно конструктивно, т.е. позволяет эту самую точку вычислить практически (правильнее - найти с любой заданной точностью)

[marqueewinq]

То есть, вычислить предел последовательности P_n?
P_n = F(P_{n - 1}),~ P_0 - любая

[Cash]

Да, верно

[мат-ламер]

Cash в сообщении #543905 писал(а):

Далее почитайте теорему Банаха о неподвижной точке и ее доказательство

Это имеется в виду принцип сжимающих отображений.

[Cash]

Можно, также найти и непосредственно решив уравнение
$\mathbf{x}=\lambda A\mathbf{x}+\mathbf{x_0}$
$\lambda$ - коэффициент сжатия, $\mathbf{x_0}$ - вектор переноса, $A$ - матрица поворота

[MrDindows]

Ой. Вы тут таких умностей наговорили. А я-то хотел посоветовать:

Рисуем прямоугольник. В нём произвольным образом другой меньший прямоугольник.
Берём на нём искомую точку с неизвестными координатами $(x,y)$. Эти координаты должны равняться соответственным координатам на карте, с учётом масштаба. Опускаем с этой точки перпендикуляры на оси x,y на карте. Далее надо найти значения проекций этой точки на осях, и в итоге получим систему из двух линейных уравнений.

Или это не прокатит?...

[wallflower]

$F$ -- аффинное преобразование в двумерном пространстве. Оно легко находится (его линейная часть это гомететия+поворот). Записываем $F(P)=P$ покоординатно, получаем СЛАУ из двух уравнений с двумя неизвестными.

[Cash]

MrDindows в сообщении #543915 писал(а):

Ой. Вы тут таких умностей наговорили. А я-то хотел посоветовать:

Рисуем прямоугольник. В нём произвольным образом другой меньший прямоугольник.
Берём на нём искомую точку с неизвестными координатами $(x,y)$. Эти координаты должны равняться соответственным координатам на карте, с учётом масштаба. Опускаем с этой точки перпендикуляры на оси x,y на карте. Далее надо найти значения проекций этой точки на осях, и в итоге получим систему из двух линейных уравнений.

Или это не прокатит?...

В любом случае преобразование надо будет выписать явно...

[marqueewinq]

С точки зрения реализации легче взять предел ;)

[svv]

1. Нужно найти такую точку, что отображение $F$ будет суперпозицией только поворота и сжатия относительно неё, без переноса (ведь она неподвижна).

2. Наверное, будет какое-то упрощение, если использовать комплексные числа. Тогда наше отображение запишется как $z\mapsto c(z-z_0)+z_0$ , где $z_0$ -- неподвижная точка. Модуль $c$ отвечает за сжатие, аргумент -- за угол поворота.

[alcoholist]

svv в сообщении #543922 писал(а):

Наверное, будет какое-то упрощение, если использовать комплексные числа. Тогда наше отображение запишется как $z\mapsto c(z-z_0)+z_0$ , где $z_0$ -- неподвижная точка. Модуль $c$ отвечает за сжатие, аргумент -- за угол поворота.

Да. Если углы зала имеют координаты $0$, $a$, $a+ib$, $ib$ (при положительном порядке обхода) и точка $z_1$, $z_2$ -- координаты первых двух углов карты, то получается система уравнений, из которой можно найти неподвижную точку $z_0$:

$$ z_1=f(0)=c(0-z_0)+z_0,\quad z_2=f(a)=c(a-z_0)+z_0 $$

А вот любопытно написать условия при которых образ зала при отображении $f$ находится целиком а зале.

[marqueewinq]

alcoholist в сообщении #543932 писал(а):

А вот любопытно написать условия при которых образ зала при отображении $f$ находится целиком а зале.

Что вы имеете в виду?

[alcoholist]

marqueewinq в сообщении #543936 писал(а):

Что вы имеете в виду?

Поворот, сжатие и сдвиг определены на всей плоскости. Таким образом у нас есть отображение $f$ плоскости в плоскость. По условиям задачи $f(\mbox{.

[Cash]

svv в сообщении #543922 писал(а):

1. Нужно найти такую точку, что отображение $F$ будет суперпозицией только поворота и сжатия относительно неё, без переноса (ведь она неподвижна).

2. Наверное, будет какое-то упрощение, если использовать комплексные числа. Тогда наше отображение запишется как $z\mapsto c(z-z_0)+z_0$ , где $z_0$ -- неподвижная точка. Модуль $c$ отвечает за сжатие, аргумент -- за угол поворота.

Это, безусловно, лучшее решение.