Небесная механика

[Parkhomuk]

Munin в сообщении #543508 писал(а):

Parkhomuk в сообщении #543367 писал(а):

Что то на картинках не вижу гиперболических решений для траекторий.

Плохо смотрите, их там дофига, крайние.

Я асимптот не различаю (вдруг это "обрезанные" элипсы). Кстати, а как Вы их отличаете от параболических?

Утундрий в сообщении #543568 писал(а):

Решение 2 таково: ...

Но если угол между r1 и r2 180 градусов (что возможно, хотя и [r1 x r2]=0), то по Вашему величины v1 и v2 бесконечны?

[Munin]

Parkhomuk в сообщении #543720 писал(а):

Я асимптот не различаю (вдруг это "обрезанные" элипсы).

Эллипс даже под большим увеличением вблизи фокуса не может быть "уголком". Он всегда "кругленький". Если видите "уголок" - перед вами кусок гиперболы.

Parkhomuk в сообщении #543720 писал(а):

Кстати, а как Вы их отличаете от параболических?

Где-то там между эллипсами и гиперболами может быть изображена парабола, которая именно - меня не сильно волнует.

[Утундрий]

Итак, квадрат эксцентриситета любой допустимой орбиты дается выражением

$$\[ \varepsilon ^2 = \left( {\frac{p} {{r_1 }} - 1} \right)^2 + \left( {\frac{{p\left( {r_1 - r_2 \cos \theta } \right)}} {{r_1 r_2 \sin \theta }} - \frac{{\sin \theta }} {{1 + \cos \theta }}} \right)^2 \] $$

Взяв от него минимум по $p$, получим наикруглейшую орбиту при фиксированом $\theta $:

$$\[ \begin{gathered} \varepsilon _m^2 \equiv \mathop {\min }\limits_p \varepsilon ^2 = \varepsilon ^2 \left( {p_m } \right) = \left( {\frac{{r_1 - r_2 }} {{r_{12} }}} \right)^2 \hfill \\ p_m \equiv \frac{{r_1 r_2 \left( {r_1 + r_2 } \right)}} {{r_{12}^2 }}\left( {1 - \cos \theta } \right) \hfill \\ \end{gathered} \] $$

где $\[ r_{12} \equiv \left| {\vec r_1 - \vec r_2 } \right| \] $

Отпустив $\theta $ погулять, получим наиболее наикруглейшую, соединяющую две круговые:

$$\[ \begin{gathered} \varepsilon _{\min }^2 \equiv \mathop {\min }\limits_\theta \varepsilon _m^2 = \varepsilon _m^2 \left( {\theta _{\max } } \right) = \left( {\frac{{r_1 - r_2 }} {{r_1 + r_2 }}} \right)^2 \hfill \\ \theta _{\max } = \pi \hfill \\ \end{gathered} \] $$

Наиболее наикруглейшей, таким образом, оказалась гомановская орбита.

Также можно найти две параболические орбиты, решив квадратное относительно $p$ уравнение $\[\varepsilon ^2 = 1\]$, оба решения которого $\[p_ \pm \]$ действительны и положительны.

Таким образом, для уяснения общей картины, для произвольной тройки $\[\left\{ {r_1 ,r_2 ,\theta } \right\}\]$ достаточно построить лучи по направлениям $\[\vec e_i \]$; прямую, проходящую через стартовую и финишную точки да две параболы. Эти линии и рассекут плоскость орбиты на запретную, содержащую замкнутые допустимые орбиты и на содержащую разомкнутые допустимые орбиты области. Ну, для красоты можно еще наикруглейшую нарисовать.

P.S. Картинки, извините, завтра.

Parkhomuk в сообщении #543720 писал(а):

величины v1 и v2 бесконечны?

Да. А что в этом такого?

[Munin]

Можно где-нибудь в комплексную плоскость вылезти, и особенности пообходить, но как-то не соображу, где.

[Ales]

А если изменить задачу и поставить вопрос: как попасть с планеты на планету.
Планеты не стоят на месте и движутся по орбитам.

Заодно рассчитать: ускорение для старта и для финиша.

[Утундрий]

Картина в общем случае получается такая

Здесь по желтой зоне проходят разомкнутые орбиты, по синей - замкнутые (черным показана орбита с наименьшим эксцентриситетом, т.е. наикруглейшая), а по белым - ничего не проходит.

Вот еще несколько картинок с промежуточными траекториями (показаны пунктиром)

Ales в сообщении #544037 писал(а):

А если изменить задачу и поставить вопрос: как попасть с планеты на планету.

Собственно, все необходимое для ответа уже изложено. То что планеты движутся - не беда: я просто буду полагать, что целевая планета находилась ровно там, откуда она пришла в момент встречи с ней к тому времени, когда эта встреча состоялась.

Ales в сообщении #544037 писал(а):

Заодно рассчитать: ускорение для старта и для финиша.

Ускорения тут совершенно не важны (если только речь не идет об ускорениях, действующих в течение всего полета). Важны лишь набранные скорости, их-то (точнее, их модули или сумму их модулей) и нужно минимизаровать.

[Munin]

Утундрий в сообщении #544337 писал(а):

То что планеты движутся - не беда: я просто буду полагать, что целевая планета находилась ровно там, откуда она пришла в момент встречи с ней к тому времени, когда эта встреча состоялась.

Хе-хе, а время-то на разные движения будет затрачено разное... Не, эта задача повеселей, не отмахивайтесь.

[Утундрий]

Munin в сообщении #544399 писал(а):

Хе-хе, а время-то на разные движения будет затрачено разное... Не, эта задача повеселей, не отмахивайтесь.

Немонотонности, конечно, возможны, а с ними и веселье. Также в трассах с возвратами фактор времени будет еще более важен, ибо уже не выставить планету на любое удобное нам место и придется что-то решать... Однако, каждому овощу свое время. Для однозвенных перелетов важнее затраты скорости. В связи с чем возникает упражнение

3. Существует ли отличие между траекториями перелета с одной круговой орбиты на другую, оптимальными по затратам скорости только на старте ("бомбежка") и по суммарным затратам скорости на старте и финише ("посещение")? Найти эти оптимальные траектории.

P.S. Надеюсь администрация не будет возражать, если я буду аккумулировать в одной теме "космические" задачки. Дело в том, что мне очень нравится вектор $\vec \varepsilon $ и легкость получаемых с его помощью результатов и я намерен его немножко здесь пропиарить.

[Утундрий]

Parkhomuk в сообщении #543720 писал(а):

Но если угол между r1 и r2 180 градусов (что возможно, хотя и [r1 x r2]=0), то по Вашему величины v1 и v2 бесконечны?

А, я внезапно осознал суть недоумения. Да, этот момент требует уточнения.

[Утундрий]

Оказывается
Ричард Бэттин "Наведение в космосе", 1966
содержит все о чем я тут размышлял, собирался размышлять и даже то, о чем и не думал поразмыслить.

P.S. Велики были древние!

P.P.S. Что же до вырождения формул для скоростей, то оно связано попросту с тем, что $p$ при $\theta \to \pi$ стремится к конечному, одному и тому же для всех допустимых орбит пределу (множество допустимых орбит при этом отнюдь не вырождается) и перестает быть хорошим маркирующим орбиты параметром. Плюс к тому появляется дополнительная степень свободы: разфиксируется плоскость орбиты.

[fronnya]

anik в сообщении #542982 писал(а):

Утундрий в сообщении #542944 писал(а):

Пробная частица движется по закону

$$\ddot\vec r=-Gm\frac{\vec r}{r^3}$$

В правой части сила тяготения, а в левой? Где вторая тяготеющая масса?

в условии сказно же пробная частица.