Небесная механика

[Утундрий]

Пробная частица движется по закону

$$\[\ddot \vec r = - Gm\frac{{\vec r}}{{r^3 }}\]$$

Отмечены две различные, не совпадающие с началом координат точки с радиус-векторами $\[\vec r_1 \]$ и $\[\vec r_2 \]$, такими что $\[\vec r_1 \times \vec r_2 \ne \vec 0\]$. Рассмотрим множество всех траекторий, удовлетворяющих закону движения и соединяющих отмеченные точки.

1. С каким произволом определено множество?

2. Записать выражения для начальной и конечной скоростей $\[\vec v_i \]$ в базисе $\[\left\{ {\vec r_i } \right\}\]$.

[anik]

Утундрий в сообщении #542944 писал(а):

Пробная частица движется по закону

$$\ddot\vec r=-Gm\frac{\vec r}{r^3}$$

В правой части сила тяготения, а в левой? Где вторая тяготеющая масса?

[Oleg Zubelevich]

1) перейти в полярные координаты $(r,\psi)$
2) написать интеграл энергии, интеграл площадей
3) заметить $\dot r=\frac{dr}{d\psi}\dot \psi$; выразить $\dot \psi$ из интеграла площадей.
4) получить интеграл энергии и эффективный потенциал в терминах $r(\psi),\frac{dr}{d\psi}$

[Munin]

Утундрий в сообщении #542944 писал(а):

1. С каким произволом определено множество?

С одномерным (однопараметрическим). Добавив время, затраченное на движение из одной в другую точку, получим задачу, в общем случае имеющую единственное решение. Нет, стоп, не единственное, конечное число.

[Утундрий]

Munin в сообщении #542990 писал(а):

С одномерным (однопараметрическим).

Верно.

Oleg Zubelevich в сообщении #542986 писал(а):

перейти в полярные координаты

Вероятно, можно. Однако в декартовых получается несколько изящнее.

(anik-у)

anik в сообщении #542982 писал(а):

В правой части сила тяготения

Неправда, не сила там.

[Oleg Zubelevich]

ну можно чисто геометрически действовать: по заданному фокусу и двум точкам построить эллипс или эллипсы и подставить уравнение эллипса в интеграл энергии чтобы найти скорости

[Munin]

Утундрий в сообщении #543026 писал(а):

Верно.

Осталось поставить вопрос о топологии поверхности $(\vec{r}_1,\vec{r}_2)\mapsto\text{ траектории}$...

[Bulinator]

Глупые замечания:
В центрально симметричном поле движение плоское. Итак, имеем $2\times 2=4$ неизвестные компоненты скоростей $\vec{v}_1,\vec{v}_2$. Однако на них есть 3 закона сохранения. Таким образом, остается всего одна неопределенная степень свободы а значит, траектории определены с точностью до одного параметра. Имеем
$[\vec{r}_1,\vec{v}_1]=[\vec{r}_1,{\vec{v}_{1}}_\perp]\equiv \vec{L}=[\vec{r}_2,\vec{v}_2]=[\vec{r}_2,{\vec{v}_2}_\perp]$. Отсюда
${\vec{v}_2}_\perp=\frac{[\vec{r}_2,\vec{L}]}{r_2^2}$ Если задействуем з.с.э, а именно
$\frac{v_1^2}{2}-\frac{Gm}{r_1}=\frac{v_2^2}{2}-\frac{Gm}{r_2}$, полностью выразим $\vec{v}_2$ через $\vec{v}_{1}$.

[Утундрий]

В принципе, я так и ожидал, что решение первого вопроса будет проинтуичено каждым по-своему.

Перейдем теперь к решениею вопроса 2, ибо выражения для скоростей мне понадобятся в дальнейших задачах. (Кстати, одного взгляда на получившиеся формулы оказалось достаточно для прояснения этой самой, которая топология. Да так, что малевание в матпакете ничего к оному пониманию не добавило.)

Чтобы не лишать собравшихся удовольствия от самостоятельного решения, ограничусь пока тем экстремальным минимумом теории по данному вопросу, достаточным для решения поставленной задачи.

Собственно, при решении мною были использованы совсем немного фактов, вот они:

1)

$$\[ \vec \mu \equiv \vec r \times \vec v = \operatorname{const} \] $$

2)

$$\[ \vec \varepsilon \equiv \frac{1} {{Gm}}\vec v \times \vec \mu - \frac{{\vec r}} {r} = \operatorname{const} \] $$

3)

$$\[ r = \frac{p} {{1 + \varepsilon \cos \theta }} \] $$

где

$$\[ p = \frac{{\mu ^2 }} {{Gm}} \] $$

а $\theta$ - угол между $\[{\vec \varepsilon }\]$ и $\[{\vec r}\]$

-- Пн фев 27, 2012 21:19:42 --

Ну и картинки (куда ж без них):




P.S. За параметр, параметризующий кривые удобно взять параметр кривой $p$ (Прошу прощения за двойной каламбур).

[Munin]

Понятно, одной замкнутой траектории соответствует много времён. Мог бы и сам сообразить, позор мне. Спасибо.

[ivanhabalin]

(Оффтоп)

Один бог безгрешен и то под сомнением.

[Parkhomuk]

Что то на картинках не вижу гиперболических решений для траекторий. Кроме того неочевидно что по формуле (3) есть бесконечные решения для r, а значит я не уверен в том, что незамкнутые кривые на рисунках это параболы, а не "обрезанные" эллипсы.

[Munin]

Parkhomuk в сообщении #543367 писал(а):

Что то на картинках не вижу гиперболических решений для траекторий.

Плохо смотрите, их там дофига, крайние.

[Утундрий]

Что же, сутки почти миновали, значит надо нам дальше идти.

Решение 2 таково:

$$\[ \begin{gathered} \vec v_1 = \frac{{Gm}} {{r_1 r_2 u}} \cdot \frac{{\vec e_1 }} {{1 + \cos \theta }} + (\vec r_2 - \vec r_1 )u \hfill \\ \vec v_2 = - \frac{{Gm}} {{r_1 r_2 u}} \cdot \frac{{\vec e_2 }} {{1 + \cos \theta }} + (\vec r_2 - \vec r_1 )u \hfill \\ \end{gathered} \] $$

где $\[ \vec e_i \equiv {{\vec r_i } \mathord{\left/ {\vphantom {{\vec r_i } {r_i }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {r_i }} \] $, $\[ \theta \] $ - угол между $\[ {\vec r_1} \] $ и $\[ {\vec r_2} \] $, а $\[ u \] $ - произвольная постоянная.

При этом векторы момента и Лапласа (последний определен так, что указывает на перицентр и модуль его равен эксцентриситету), задающие нормаль к орбите и линию апсид соответственно, оказываются равны

$$\[ \begin{gathered} \vec \mu = u\vec r_1 \times \vec r_2 \hfill \\ \vec \varepsilon = \frac{{r_1 r_2 u^2 }} {{Gm}}\left\{ {\left( {r_2 - r_1 \cos \theta } \right)\vec e_1 + \left( {r_1 - r_2 \cos \theta } \right)\vec e_2 } \right\} - \frac{{\vec e_1 + \vec e_2 }} {{1 + \cos \theta }} \hfill \\ \end{gathered} \] $$

Получились красивенькие симметричненькие выраженьица. Можно даже придумать им соответствующее геометрическое построение. Впрочем, это на любителя... Рисуя графики всю эту симметрическую красотень приходится истребить без жалости переходом к ортогональным координатам. Направив, к примеру, ось иксов вдоль первого радиус-вектора, получим

$$\[ \begin{gathered} \varepsilon _x = \frac{p} {{r_1 }} - 1 \hfill \\ \varepsilon _y = \frac{{p\left( {r_1 - r_2 \cos \theta } \right)}} {{r_1 r_1 \sin \theta }} - \frac{{\sin \theta }} {{1 + \cos \theta }} \hfill \\ \end{gathered} \] $$

где

$$\[ p \equiv \frac{{\mu ^2 }} {{Gm}} = \frac{{u^2 r_1^2 r_2^2 \sin ^2 \theta }} {{Gm}} \] $$

Вернемся к выражениям для скоростей. Посмотрите, какие члены доминируют при стремлении момента к нулю и к бесконечности. Даже не строя никаких графиков, человек подумает-подумает, да и скажет: Дык! Прямая, соединяющая точки и путь зигзюгом через центр! И ён будет таки пrав.

Но графики тоже строить полезно. Настроив из достаточное количество, можно узреть, например, следующую закономерность: внутренность треугольника, образованная радиус-векторами и их разностью - ни разу не топтана.

Также рекомендую графики зависимости эксцентриситета от параметра $p$ построить. При пробегании углом $\theta$ всего доступного ему диапазона и при фиксированных радиусах $r_i$. Во-первых, выглядит своеобразно, во-вторых - содержит ответ на вопрос: сколь близка к круговой может быть соединяющая две планеты орбита. (Эксцентричностью орбит планет пренебрегаем).

И в дальнейшее развитие темы хочу сосредоточиться на следующем аспекте промежпланетных сстишествий: на скорости. Ресурс набираемой аппаратом скорости - вот основной показатель его маневренности. Скорость, скорость и еще раз скорость! И не важно, сколько времени потребует сам полет. То есть, важно конечно, но во вторую голову.

Итак, имея в руках эти формУлы для скоростёй, можно просуваться дальше, отыскивая оптимумА всякоразличных промежпланетных полетов. Можно, например, Марс бомбить. Тогда важен минимум затраченной скорости только в точке старта. Можно, скажем, на Марс летать. Тогда важен минимум суммы затраченных скоростей - в начале (для ухода с орбиты Земли) и конце (для уравнивания скоростей с Марсом) пути.

[Munin]

Утундрий в сообщении #543568 писал(а):

Настроив из достаточное количество, можно узреть, например, следующую закономерность: внутренность треугольника, образованная радиус-векторами и их разностью - ни разу не топтана.

И ещё снаружи два угла, вертикальных к углам этого треугольника.