Касательная прямая и нормальная плоскость

[integral2009]

Найти уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к кривой в точке $M(1,-2,1)$

$x^2+y^2+z^2=6$

$x+y+z=0$

Как тут искать? Если бы нужно было найти касательную прямую к поверхности - я бы нашел, а тут не знаю - что делать. С чего начать?

[Someone]

Кривая лежит в плоскости $x+y+z=0$, поэтому её касательная тоже лежит в этой плоскости. Кроме того, касательная кривой должна лежать в касательной плоскости поверхности $x^2+y^2+z^2=6$. Получаем две плоскости, содержащих касательную. Этого достаточно, чтобы найти касательную.

[integral2009]

Someone в сообщении #543257 писал(а):

Кривая лежит в плоскости $x+y+z=0$, поэтому её касательная тоже лежит в этой плоскости. Кроме того, касательная кривой должна лежать в касательной плоскости поверхности $x^2+y^2+z^2=6$. Получаем две плоскости, содержащих касательную. Этого достаточно, чтобы найти касательную.

Спасибо. Понятно, но что-то с ответам не сходится. А как найти нормальную плоскость? Ищу касательную плоскость к поверхности $x^2+y^2+z^2=6$ в точке $M(1,-2,1)$

$F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-6$

$F'_x\Big|_M=2x\Bigg|_M=2$

$F'_y\Big|_M=2y\Bigg|_M=-4$

$F'_z\Big|_M=2z\Bigg|_M=2$

$2(x-1)-4(x+2)+2(z-1)=0$

$x-1-2y-4+z-1=0$

$x-2y+z-6=0$ - касательная плоскость к поверхности $x^2+y^2+z^2=6$ в точке $M(1,-2,1)$

Теперь уравнение касательной прямой можно задать как пересечение плоскостей.

$$\begin{cases} x-2y+z-6=0\\ x+y+z=0\\ \end{cases}$$

А в ответе $x+z=2$, $y+2=0$ , $x-z=0$

Почему так? А как найти нормальную плоскость? Касательная плоскость и нормальная плоскость - это одно и тоже?

[vvvv]

Эту задачу можно решить так:
- решив систему заданных уравнений, найдем параметрические уравнения окружности.
- взяв частные производные по параметру в заданной точке, найдем касателный вектор в заданной точке, который используем для
написания уравнения нормальной плоскости.
-записываем уравнение нормальной плоскости.
Картинка такая.

[integral2009]

Цитата предыдущего сообщения удалена.

решив систему заданных уравнений, найдем параметрические уравнения окружности.

А какую именно систему? То есть вы имеете ввиду исключить $z$ из уравнения сферы (выразив $z=-x-y$ и подставив $x^2+y^2+(x+y)^2=6$), а потом записать $x=\sqrt 6\cos t, y=\sqrt 6\sin t$?

[vvvv]

Цитата предыдущего сообщения, содержавшая цитату предпредыдущего сообщения, удалена.

Вы читать умеете? Написано- заданную
Ввиду симметрии системы, любую переменную можно взять за параметр (а не исключать) , тогда остальные выразить через переменную, взятую за параметр, т.е. решить квадратные уравнения относительно любых из оставшихся переменных.

[bot]

Someone предложил проще и Вы остановились буквально в полшаге от ответа.

integral2009 в сообщении #543267 писал(а):

Почему так? А как найти нормальную плоскость?

Разве удивительно, что одна и та же прямая может задаваться разными парами пересекающихся плоскостей? $\begin{cases}x-2y+z-6=0\\ x+y+z=0\\ \end{cases}\, \, \, \, $ и $\, \, \, \, \begin{cases}x+z=2\\ y+2=0\\ \end{cases}$ одно и то же.
Всего и осталось написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно известной прямой - для этого надо просто узнать направляющий вектор прямой, а это устная задача.

[ewert]

bot в сообщении #543372 писал(а):

Разве удивительно, что одна и та же прямая может задаваться разными парами пересекающихся плоскостей? $\begin{cases}x-2y+z-6=0\\ x+y+z=0\\ \end{cases}\, \, \, \, $ и $\, \, \, \, \begin{cases}x+z=2\\ y+2=0\\ \end{cases}$ одно и то же.

Это-то не удивительно. Удивительно, как к последним двум уравнениям пристроилось третье.

[bot]

(Оффтоп)

Третье - это очевидно касательная плоскость, а пристроилось к первым двум, думается, по причине лени ТС или его слабого зрения. Возможно в ответе оно ради экономии места было отделено от первых двух очень незатейливо - точкой с запятой.

[integral2009]

vvvv в сообщении #543345 писал(а):

Цитата предыдущего сообщения, содержавшая цитату предпредыдущего сообщения, удалена.

Вы читать умеете? Написано- заданную
Ввиду симметрии системы, любую переменную можно взять за параметр (а не исключать) , тогда остальные выразить через переменную, взятую за параметр, т.е. решить квадратные уравнения относительно любых из оставшихся переменных.

Понятно теперь, спасибо

-- Сб мар 03, 2012 00:49:20 --

bot в сообщении #543372 писал(а):

Someone предложил проще и Вы остановились буквально в полшаге от ответа.

integral2009 в сообщении #543267 писал(а):

Почему так? А как найти нормальную плоскость?

Разве удивительно, что одна и та же прямая может задаваться разными парами пересекающихся плоскостей? $\begin{cases}x-2y+z-6=0\\ x+y+z=0\\ \end{cases}\, \, \, \, $ и $\, \, \, \, \begin{cases}x+z=2\\ y+2=0\\ \end{cases}$ одно и то же.
Всего и осталось написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно известной прямой - для этого надо просто узнать направляющий вектор прямой, а это устная задача.

Теперь ясно. Нужно найти векторное произведение и получится то, что надо.

Но остался несколько странный вопрос -- как будет располагаться касательная плоскость? (это в задании не спрашивается, просто хочу понять -- как она располагается) Мое предположение -- перпендикулярно нормальной плоскости и проходить через точку $M$ из условия.

[bot]

А что такое касательная плоскость кривой?

integral2009 в сообщении #544718 писал(а):

Нужно найти векторное произведение и получится то, что надо.

Не обязательно - можно, например, выразить две переменные через третью и получить параметрическое уравнение прямой или просто взять любые две точки на прямой и получить то, что надо.