2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачи
Сообщение27.02.2012, 17:11 


16/03/11
844
No comments
1.Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят три ребра, причем хотя бы два из этих трех ребер равны.Докажите,что многогранник имеет хотя бы три равный ребра.
2.Дана клетчатая полоска из $2n$ клеток,пронумерованнах слева направо следующим образом:
$1,2,3,.......,$n$,$-n$,....,-2,-1$
По этой полоске перемещают фишку,каждым холодом сдвигая ее на то число клеток,которое,которое указано в текущей клетке(вправо, если число положительно, и влево,если отрицательно).Известно, что фишка, начав с любой клетки,обойдет все клетки плоскости.Докажите, что число 2n+1 простое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи
Сообщение27.02.2012, 18:17 
Заслуженный участник


18/01/12
933
#2.
Если $2n+1$ кратно некоторому $p\ \ (1<p<2n+1),$ то начав с клетки с числом кратным $p$ будем попадать только в клетки с числами кратными $p.$

Q.e.d.

-- 27.02.2012, 17:28 --

#1.
Пусть многогранник имеет $n$ вершин.
Если в нём не найдётся трёх рёбер равной длины, то из двух различных вершин не могут выходить по два ребра одной и той же длины. Следовательно многогранник имеет не менее $2n$ рёбер ($n$ пар рёбер, таких, что длины рёбер в каждой паре равны, а в разных парах различны).
С другой стороны, поскольку из каждой вершины выходит по 3 ребра, количество рёбер равно $\frac {3n}2 .$
Таким образом получаем $2n\le \frac {3n}2$ :mrgreen: .

Q.e.d.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group