Задачи

[DjD USB]

1.Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят три ребра, причем хотя бы два из этих трех ребер равны.Докажите,что многогранник имеет хотя бы три равный ребра.
2.Дана клетчатая полоска из $2n$ клеток,пронумерованнах слева направо следующим образом:
$1,2,3,.......,$n$,$-n$,....,-2,-1$
По этой полоске перемещают фишку,каждым холодом сдвигая ее на то число клеток,которое,которое указано в текущей клетке(вправо, если число положительно, и влево,если отрицательно).Известно, что фишка, начав с любой клетки,обойдет все клетки плоскости.Докажите, что число 2n+1 простое.

[hippie]

#2.
Если $2n+1$ кратно некоторому $p\ \ (1<p<2n+1),$ то начав с клетки с числом кратным $p$ будем попадать только в клетки с числами кратными $p.$

Q.e.d.

-- 27.02.2012, 17:28 --

#1.
Пусть многогранник имеет $n$ вершин.
Если в нём не найдётся трёх рёбер равной длины, то из двух различных вершин не могут выходить по два ребра одной и той же длины. Следовательно многогранник имеет не менее $2n$ рёбер ($n$ пар рёбер, таких, что длины рёбер в каждой паре равны, а в разных парах различны).
С другой стороны, поскольку из каждой вершины выходит по 3 ребра, количество рёбер равно $\frac {3n}2 .$
Таким образом получаем $2n\le \frac {3n}2$ .

Q.e.d.