Теория вероятности. Цветные шары в цветных урнах

[Glip]

Добрый день! Буду благодарен за подсказку в следующеи затруднении.

Задачу можно представить следующим образом. Есть k человек, у каждого из них есть урна своего цвета, расчитанная на $n_i$ шаров, где i - это номер урны, а n - количество мест в ней. И есть базовый набор из N пронумерованных шаров, разбитых на группы, соответствующие урнам по цвету и количеству, то есть $\sum{n_i}=N$. Каждый человек должен набрать себе в урну независимо друг от друга (у каэдого свой набор) $n_i$ шаров, но НЕ своего цвета, то есть "чужих" расцветок. Какова вероятность того, что полученная таким образом выборка шаров будет в точности соответствовать вновь базовому набору (но перемешанному по урнам в соответствии с условием о чужих цветах)?

Общее число вариантов я нахожу перемножением количества возможных вариантов выборки у каждого человека отдельно: $C^{n_1}_{N-{n_1}} \times C^{n_2}_{N-{n_2}} \times \cdots \times C^{n_i}_{N-{n_i}}$.

Отмечу неявное ограничение $n_i \leq N-n_i$, иначе не будет выполняться условие.

А вот с нахождением количества правильных вариантов я и затрудняюсь. По сути, оно сводится к числу перестановок в базовом наборе, при котором ни в одной урне нет соответствующего ей по цвету шара. Но как это число найти в общем виде? Как ни пытался, из-за того, что перестановки теперь в связи с возникающими возможными дублированиями являются зависимыми событиями, у меня в итоге все сводится к банальному перебору всех вариантов. Обратным способом, найти число вариантов со всеми вариантами дублирования и вычесть его из общего количества вариантов тоже пока не получается.

Надеюсь на помощь.

[gris]

Конечно, воскресным утром прочитать такое...
Впрочем, если я не ошибаюсь в интерпретации, то получение нового базового набора возможно лишь, если множество $\{n_i\}$ разбивается на подмножества с мощностями, большими 1, с попарно (С) равными элементами. Ну то есть, например, $N=12=2+2+2+3+3$, и обмен цветами идёт между равномощными господами.
В противном случае Ваша вероятность равна нулю.
В случае, если разбиение $N$ удовлетворяет условию, то в частных случаях вероятность несложно посчитать комбинаторно. В общем случае как-то даже и рука не поднимается.

[Glip]

Попробую объяснить на конкретном примере.

Допустим, у нас три человека, Красный - 1 шар, Желтый - 2 шара и Зеленый - 3 шара. Тогда базовый набор такой: $R_1$-${Y_1}{Y_2}$-${G_1}{G_2}{G_3}$, то есть как если бы каждый взял шары своего цвета.

Рассчитываем общее число вариантов. У Красного $C^1_5$ вариантов, у Желтого $C^2_4$ вариантов, у Зеленого $C^3_3$, то есть всего $5 \times$ 6 \times 1 = 30 вариантов.

Но правильных вариантов только 3, при которых Зеленый набирает все три шара двух других цветов, а Красный и Желтый вместе набирают три Зеленых Шара. Вот эти варианты:

${G_1}$-${G_2}{G_3}$-${R_1}{Y_1}{Y_2}$,
${G_2}$-${G_1}{G_3}$-${R_1}{Y_1}{Y_2}$ и
${G_3}$-${G_1}{G_2}$-${R_1}{Y_1}{Y_2}$.

Таикм образом, получился весь базовый набор без возможных дублирований, но перемешанный среди участников таким образом, чтобы у каждого были шары только чужого цвета.

Задам сразу и следующий вопрос. При каких распределениях количества шаров среди участников доля правильных вариантов максимальна? Интуитивно полагаю, что при равномерном, но ввиду отсутствия алгоритма подсчета их количества проверить не получается.

[gris]

Это не базовые наборы. В базовом наборе у каждого человека могут быть шары только одного цвета.

[Glip]

Хм, возможно, я неправильно употребил терминологию?

В данном случае я имел в виду, какова вероятность того, что путем выбора "чужих" шаров у всех участников в совокупности получится тот же набор N шаров, как если бы они выбирали непосредственно именно "свои" шары, вне зависимости от того, одного или разного цвета шары у каждого из людей.

Прошу прощения, если я напутал с терминами, но здесь имелось в виду, что если после такой выборки ВСЕ шары сложить вместе, то в совокупности получится первоначальный набор, а не наборы с дублирующимися шарами типа $Y_1$-${R_1}{G_1}$-${R_1}{Y_1}{Y_2}$