но в определении обратного отображения ведь конкретно сказано..
А оно у вас есть, обратное отображение? Лишь биективные отображения обратимы, а для них говорить о прообразе как о множестве, сами понимаете, смысла никакого.
всё, что связано с

в

- уйдет в ноль, а что не связано - перейдёт в своих собратьев с чертой сверху, то есть как и было в

.
Заметьте, вы сейчас вычисляете

по определению, т.е. как

— образ идеала

при каноническом гомоморфизме... но вы уверены, что всякий элемент

заимел прообраз в

?

Разве не могло бы такого случиться, что есть какой-то хитрый

, что

?
(Спойлер, хотя его тоже по-хорошему надо доказывать или твердо знать)
Если

,

то

— и равенство имеет место тогда и только тогда, когда

.
-- Вс фев 26, 2012 22:57:22 --added: хотя не так очевидно, но тоже вроде доказывается: любой элемент из

можно представить как

, где

. Ну и дальше по свойству гомоморфизма понятно..
Ну нет. Есть похожее утверждение, но в данном конкретном случае это неверно — у нас

, т.е. состоит из классов

, где

— т.е. именно то, что мы доказываем.
Вы имели ввиду, что если

, то любой

разваливается в сумму

, где

. Э нет, это неправда. Если

, то вы его так не сможете представить, если же

, то он уже так представлен:

.