Непрерывная ветвь аргумента на непрерывном пути

[Tuzembobel]

Если $\gamma:\ [\alpha , \beta]\to \mathbb{C}\setminus 0$ - непрерывный путь, не проходящий $0$,то почему существует непрерывная, однозначная ветвь $\varphi(t)$ многозначной функции $\mbox{Arg}\,\gamma(t)$ на всем $[\alpha , \beta]$?
Причем, если $\varphi_1$, $\varphi_2$ - две такие ветви, то они отличаются на константу $2\pi k$.

Если $T=\{\alpha=t_0<t_1<\ldots <t_{n-1}<t_n=\beta\}$ - разбиение отрезка, то для всех отрезков $[t_{j-1}, t_j]$ таких, что ограничение $\gamma([t_{j-1}, t_j])$ не пересекается с осями координат, можно найти $\varphi_j(t)$ - непрерывную ветвь аргумента ограничения кривой на этот отрезок $[t_{j-1}, t_j]$.
Возникают трудности с непрерывной склейкой всех этих $\varphi_j$.

[worm2]

Tuzembobel писал(а):

Если $\gamma:\ [\alpha , \beta]\to \mathbb{C}\setminus 0$ - непрерывный путь, не проходящий $0$,то почему существует непрерывная, однозначная ветвь $\varphi(t)$ многозначной функции $\mbox{Arg}\,\gamma(t)$ на всем $[\alpha , \beta]$?

По-моему, это очевидно. Поместите себя в начало координат и наблюдайте за объектом, летающим в $\mathbb C$ (но не пролетающим через Вас). Ясно, что угол будет меняться непрерывно (по времени), если к нему вовремя (при пересечении полуоси Arg Z = 0) добавлять (при движении против часовой стрелки) или отнимать (по часовой стрелке) $2\pi$. Это Вам заодно и алгоритм склейки.

[RIP]

Tuzembobel писал(а):

Если $T=\{\alpha=t_0<t_1<\ldots <t_{n-1}<t_n=\beta\}$ - разбиение отрезка, то для всех отрезков $[t_{j-1}, t_j]$ таких, что ограничение $\gamma([t_{j-1}, t_j])$ не пересекается с осями координат, можно найти $\varphi_j(t)$ - непрерывную ветвь аргумента ограничения кривой на этот отрезок $[t_{j-1}, t_j]$.
Возникают трудности с непрерывной склейкой всех этих $\varphi_j$.

Не всегда можно найти такое разбиение, что для всех отрезков ограничение $\gamma([t_{j-1}, t_j])$ не пересекается с осями координат. Надо действовать немного хитрее. Например, так.
Для каждой точки отрезка $[\alpha;\beta]$ существует окрестность, в которой можно выделить непрерывную ветвь $\varphi(t)$. Поскольку отрезок - компакт, то отсюда легко следует, что найдется разбиение $T=\{\alpha=t_0<t_1<\ldots <t_{n-1}<t_n=\beta\}$ такое, что на каждом отрезочке $[t_{j-1}, t_j]$ можно выделить непрерывную ветвь. Далее уже просто. Выбираем любую ветвь на первом отрезочке. По значению $\varphi_1(t_1)=\varphi_2(t_1)$ выбираем ветвь на втором отрезке и т.д.

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

worm2
"Очевидно" это не аргумент. Очевидные утверждения иногда оказываются неверными.