2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывная ветвь аргумента на непрерывном пути
Сообщение17.02.2007, 11:33 


24/09/06
26
Если $\gamma:\ [\alpha , \beta]\to \mathbb{C}\setminus 0$ - непрерывный путь, не проходящий $0$,то почему существует непрерывная, однозначная ветвь $\varphi(t)$ многозначной функции $\mbox{Arg}\,\gamma(t)$ на всем $[\alpha , \beta]$?
Причем, если $\varphi_1$, $\varphi_2$ - две такие ветви, то они отличаются на константу $2\pi k$.

Если $T=\{\alpha=t_0<t_1<\ldots <t_{n-1}<t_n=\beta\}$ - разбиение отрезка, то для всех отрезков $[t_{j-1}, t_j]$ таких, что ограничение $\gamma([t_{j-1}, t_j])$ не пересекается с осями координат, можно найти $\varphi_j(t)$ - непрерывную ветвь аргумента ограничения кривой на этот отрезок $[t_{j-1}, t_j]$.
Возникают трудности с непрерывной склейкой всех этих $\varphi_j$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная ветвь аргумента на непрерывном пути
Сообщение17.02.2007, 13:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Tuzembobel писал(а):
Если $\gamma:\ [\alpha , \beta]\to \mathbb{C}\setminus 0$ - непрерывный путь, не проходящий $0$,то почему существует непрерывная, однозначная ветвь $\varphi(t)$ многозначной функции $\mbox{Arg}\,\gamma(t)$ на всем $[\alpha , \beta]$?

По-моему, это очевидно. Поместите себя в начало координат и наблюдайте за объектом, летающим в $\mathbb C$ (но не пролетающим через Вас). Ясно, что угол будет меняться непрерывно (по времени), если к нему вовремя (при пересечении полуоси Arg Z = 0) добавлять (при движении против часовой стрелки) или отнимать (по часовой стрелке) $2\pi$. Это Вам заодно и алгоритм склейки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывная ветвь аргумента на непрерывном пути
Сообщение17.02.2007, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Tuzembobel писал(а):
Если $T=\{\alpha=t_0<t_1<\ldots <t_{n-1}<t_n=\beta\}$ - разбиение отрезка, то для всех отрезков $[t_{j-1}, t_j]$ таких, что ограничение $\gamma([t_{j-1}, t_j])$ не пересекается с осями координат, можно найти $\varphi_j(t)$ - непрерывную ветвь аргумента ограничения кривой на этот отрезок $[t_{j-1}, t_j]$.
Возникают трудности с непрерывной склейкой всех этих $\varphi_j$.

Не всегда можно найти такое разбиение, что для всех отрезков ограничение $\gamma([t_{j-1}, t_j])$ не пересекается с осями координат. Надо действовать немного хитрее. Например, так.
Для каждой точки отрезка $[\alpha;\beta]$ существует окрестность, в которой можно выделить непрерывную ветвь $\varphi(t)$. Поскольку отрезок - компакт, то отсюда легко следует, что найдется разбиение $T=\{\alpha=t_0<t_1<\ldots <t_{n-1}<t_n=\beta\}$ такое, что на каждом отрезочке $[t_{j-1}, t_j]$ можно выделить непрерывную ветвь. Далее уже просто. Выбираем любую ветвь на первом отрезочке. По значению $\varphi_1(t_1)=\varphi_2(t_1)$ выбираем ветвь на втором отрезке и т.д.

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

worm2
"Очевидно" это не аргумент. Очевидные утверждения иногда оказываются неверными.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group