Отображение точек на числовой прямой и не только.

[w38dn]

Требуется найти общий вид правила, по которому точки $a_1,a_2,..., a_n$ из $R^1$ будут отображаться в другие точки $b_1,b_2,..., b_n$ из $R^1$. Под правилом подразумевается какая-то функция $y(a_i)$, где $i=1,2,...,n$. Точки заранее известны.

Так же было бы не плохо найти подобное правило для точек из $R^2$ или, в общем случае, из $R^n$.

[Joker_vD]

Пожалуйста:

$$y(x)=\left\{\begin{array}{l}b_1,\quad\text{если }x=a_1,\\b_2,\quad\text{если }x=a_2,\\\hdotsfor[9]{1}\\ b_n,\quad\text{если }x=a_n.\\ \end{array}\right.$$

[w38dn]

Joker_vD, спасибо. Но можно ли функцию y(x) представить в линейном виде?

[Joker_vD]

Пардон — в смысле "в линейном виде"?

То есть, вы хотите заиметь какую-нибудь аналитическую формулу, из сложений-умножений-делений, чтобы при подстановке в нее $a_i$ получать $b_i$? Простейшим способом, на мой взгляд, является т.н. интерполяционный многочлен Лагранжа:

$$L(x)=\sum\limits_{i=1}^n b_i \prod\limits_{j\ne i}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}.$$

Я знаю, что можно строить подобные многочлены и в многомерном случае, но явного способа я не знаю — могу посмотреть, может, в какой-то книге у меня под рукой он изложен явно.

[w38dn]

Joker_vD в сообщении #542959 писал(а):

То есть, вы хотите заиметь какую-нибудь аналитическую формулу, из сложений-умножений-делений, чтобы при подстановке в нее $a_i$ получать $b_i$?

Да.
За интерполяционный многочлен Лагранжа благодарен.