Верёвка на столе

[Утундрий]

Ну, тут ведь некая специльно обученная веревка имелась в виду. Движущаяся в каждой своей точке с постоянной скоростью, направленной вдоль самоё же себя, за исключением точки излома, где каким-то алхимическим чудом горизонтальное движение преобразуется в вертикальное. Возжелав же придать задаче большую степень правдоподобности, следует в первую голову очертить пределы применимости вышеупомянутого алхимического чуда.

[ewert]

Утундрий в сообщении #542481 писал(а):

Возжелав же придать задаче большую степень правдоподобности,

, надо просто заключить верёвочку в бесконечно скользкую трубочку, с бесконечно маленьким радиусом поворота, что практически не так просто сделать

[Батороев]

anik в сообщении #542459 писал(а):

С чего взяли, что свисающий конец верёвки будет "падать" с ускорением $g$?
Предположим, что свисает 1м верёвки, а на столе лежит целый километр, тогда как?

На километр веревки действует сила, равная силе тяжести одного метра веревки, сила сопротивления равна нулю.
Поэтому записываем уравнение равновесия в начальный момент:

$Ma=mg$,
где $m$ - масса свисающего конца веревки, $M$ - масса остальной части.

$a=\dfrac{m}{M}\cdot g $

В исходной задаче было $M=m$. Из этого истекал мой вариант решения.

Задаваемые условия определяют степень идеализированности задачи. Поэтому априори считаем, что веревка абсолютно гибкая и нерастяжимая, моментами инерции на повороте пренебрегаем и т.д.

[ewert]

Батороев в сообщении #542710 писал(а):

моментами инерции на повороте пренебрегаем

Мы не можем им пренебречь: по мере ускорения верёвка приобретает заведомо не маленький момент импульса. Поэтому она заведомо будет в дальнейшем полёте вращаться -- если не придержать её чем-нибудь сверху.

[Батороев]

Но ведь как-то ж умудряемся пренебрегать моментами вращения блоков в школьных задачах на полиспасты!

[anik]

Батороев в сообщении #542710 писал(а):

В исходной задаче было $M=m$. Из этого истекал мой вариант решения.

Это равенство справедливо только для момента времени соответствующего началу движения.

Батороев в сообщении #542713 писал(а):

Но ведь как-то ж умудряемся пренебрегать моментами вращения блоков в школьных задачах на полиспасты!

Во-первых: неинерционность блоков в условии задачи должна оговариваться, во-вторых: дело не в моменте инерции, а в горизонтальной составляющей количества движения, которое приобретает та часть верёвки, которая лежит на столе. Верёвка не будет падать оставаясь в вертикальном положении, и её ц.м. не будет падать по вертикали.

-- Вс фев 26, 2012 16:31:08 --

Батороев в сообщении #542710 писал(а):

$Ma=mg$,

Для верёвки должно соблюдаться равенство $a=g$, иначе верёвка разорвётся. (Если рассматривать верёвку как систему с одной степенью свободы, как, по-видимому, Вы и рассматриваете).

[Батороев]

anik в сообщении #542729 писал(а):

Батороев в сообщении #542710 писал(а):

В исходной задаче было $M=m$. Из этого истекал мой вариант решения.

Это равенство справедливо только для момента времени соответствующего началу движения.

Я указал то, что уравнение равновесия составлено для начального момента. Далее для "километровой" веревки это уравнение будет изменяться в зависимости от того, какой массы концы в данный момент находятся на вертикали и на горизонтали (соответственно, в уравнении равновесия будут другие значения масс).
В исходной же задаче, определив, что начальное ускорение $a=g$ и что далее оно не изменится, т.к. в свободном падении большего значения достичь нельзя, спокойно рассчитываем время прохождения пути дальним концом веревки.

anik в сообщении #542729 писал(а):

Батороев в сообщении #542710 писал(а):

$Ma=mg$,

Для верёвки должно соблюдаться равенство $a=g$, иначе верёвка разорвётся. (Если рассматривать верёвку как систему с одной степенью свободы, как, по-видимому, Вы и рассматриваете).

Ничего подобного не должно соблюдаться. Сила тяжести свободно висящего конца, рассчитанная по формуле $P= mg$, отнюдь не говорит о том, что свободный конец должен перемещаться с ускорением $g$. Его ускорение в виду нерастяжимости и неразрывности веревки будет равно $a$.

[anik]

Батороев в сообщении #542826 писал(а):

В исходной же задаче, определив, что начальное ускорение $a=g$ и что далее оно не изменится,

В условии задачи не сказано, что $a=g$, если Вы так определили начальное ускорение, то оно определено неверно (если под $g$ подразумевать 9,81).
Не важно какой длины верёвка, её ускорение будет меняться до тех пор, пока вся верёвка не сползёт со стола.

-- Вс фев 26, 2012 20:02:41 --

Сразу после того, как конец верёвки сползёт со стола, верёвка обязательно "вильнёт хвостиком".

[Утундрий]

Я попытался заменить веревку ломаной из одинаковой длины звеньев (с массами, сосредоточенными в шарнирах), но у меня не хватило терпения проанализировать получившееся безобразие. Других идей покамест нет.

[anik]

Если у кого-нибудь есть длинная цепочка или цепь, то можно провести натурный эксперимент. Для уменьшения трения можно использовать стекло. Чтобы сэкономить на свисающей части, можно привязать грузик.

[Батороев]

anik в сообщении #542835 писал(а):

Батороев в сообщении #542826 писал(а):

В исходной же задаче, определив, что начальное ускорение $a=g$ и что далее оно не изменится,

В условии задачи не сказано, что $a=g$, если Вы так определили начальное ускорение, то оно определено неверно (если под $g$ подразумевать 9,81).
Не важно какой длины верёвка, её ускорение будет меняться до тех пор, пока вся верёвка не сползёт со стола.

-- Вс фев 26, 2012 20:02:41 --

Сразу после того, как конец верёвки сползёт со стола, верёвка обязательно "вильнёт хвостиком".

То, что в исходной задаче начальное ускорение горизонтальной части веревки $a=g$ определилось из уравнения равновесия на начальный момент. Это говорит о том, что свешивающийся конец не тормозится горизонтальной частью и может свободно падать (с ускорением $g=9,81 \frac {m}{c^2}$), т.к. ускорение горизонтальной части будет затем только увеличиваться.

В тот момент, когда конец веревки сползет со стола, веревка может сколько угодно "вилять хвостиком", создавать петли в воздухе, но ее вертикальная скорость будет определяться вертикальной скоростью остальной части веревки.

Конечно, с последним утверждением можно и не соглашаться, утверждая, что в каждый микромомент времени со стола сходит микрокусочек веревки, и что этот кусочек, имея некую горизонтальную скорость и нулевую вертикальную скорость, поначалу будет телом, брошенным под нулевым углом к горизонту, а затем, чтобы уравняться со скоростью с вертикальной частью веревки должен будет испытывать большие ускорения, причем меняющиеся с каждой микросекундой и с каждым микрокусочком, и что эти ускорения будут влиять на общую скорость падения веревки... Решать такую задачу не берусь, т.к. это уж слишком круто для воскресного времяпрепровождения.

[anik]

Батороев в сообщении #542935 писал(а):

Это говорит о том, что свешивающийся конец не тормозится горизонтальной частью и может свободно падать (с ускорением )

Горизонтальная часть верёвки обладает инерционностью, чтобы привести эту часть верёвки в движение необходима сила. Эта сила и приложена к верхней вертикальной свисающей части верёвки. Вот если бы этой силы, растягивающей верёвку не было, тогда бы свисающая часть верёвки падала бы с ускорением $g$, (как если бы свисающая часть оторвалась бы от оставшейся части верёвки). Но, горизонтальная часть верёвки "мешает" свободно падать свисающей части.

[Утундрий]

Вообще-то во первых строкАх сего обсуждения решение для шибко идеальной веревки уже как-бы приведено. Если поглядеть на него с тщанием и продифференцировать с усердием, то узрим нуль ускорения в начале сползания, рост (по закону гиперболического синуса) до $g$ в конце его и дальнейшее свободное падение с $g$ же.

Лагранжиан для шибко идеальной веревки, ежели кому интересно, таков:

$$\[L = \frac{1}{2}ml^2 \dot x^2 + mglx\]$$

где все обозначения общеприняты, а $x$ - доля свисабельности веревки, коя в процессе сползания гуляет от $\[x_0 \]$ до $1$ (по условию $\[x_0 = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}\]$, но ничто не мешает рассмотреть и чуть более общий случай).

[anik]

Всё это весьма интересно, но когда же упадёт верёвка, в конце концов?

[ewert]

Утундрий в сообщении #542954 писал(а):

Вообще-то во первых строкАх сего обсуждения решение для шибко идеальной веревки уже как-бы приведено. Если поглядеть на него с тщанием и продифференцировать с усердием, то узрим

, что кинетическая энергия вращательного движения (как бы оно ни выглядело) отнюдь не мала по сравнению с кинетической энергией поступательного. А между тем чудес не бывает: любая энергия должна откуда-то браться. Следовательно -- жульничество.