Верёвка на столе

[Утундрий]

(Оффтоп)

ewert
Потому и сказано "шибко". А замечание главным образом адресовалось Батороев-у, высказавшему чрезмерно оригинальное воззрение на величину ускорения.

[Omega]

Итак, для наидеальнейшей верёвки во вселенной время падения со стола будет равно
$\tau=\frac{\sqrt{g(3l+8H)}-\sqrt{3gl}}{2g}+\sqrt{\frac{l}{g}}log(2+\sqrt{3})$.
В принципе с двухметрового стола двадцати сантиметровая верёвка будет падать чуть дольше семи десятых секунд, что в свою очередь чуть дольше чем тело упавшее с высоты в 220 сантиметров(0.67 секунд). Более или менее реальные цифры, как мне кажется...
$a(t)=x''(t)=\frac{cosh({\sqrt{\frac{g}{l}}t)}}{2}g$.Так вот $a$ становится равно $g$ как раз когда $t=\sqrt{\frac{l}{g}}log(2+\sqrt{3})$ всё сходится

[Himfizik]

(Оффтоп)

Omega в сообщении #543093 писал(а):

...всё сходится

Э-э-х, сплошное жонглирование формулами...

[ivanhabalin]

(Оффтоп)

Omega
Нормально, но наименование темы..., хорошо, что про мыло не упомянули.

[Oleg Zubelevich]

Будем считать, что угол стола скруглен и представляет собой четверть окружности радиуса $r$. Вообще будем считать, что связи идеальные и отрыва от связей не происходит.
Направим ось $X$ вертикально вниз, а ось $Y$ горизонтально вдоль стола слева направо. Пусть $u$ -- модуль скорости точек веревки; $\rho$ -- плотность веревки.

Если записать соответствующее уравнение для части веревки находящейся на окружности, мы получим

$$T_1-T_2=r\rho\frac{\pi}{4}\dot u.$$

(либо $T_2-T_1$ что-то не соображу)
Здесь $T_2$ -- модуль силы натяжения, действующей со стороны части веревки, лежащей на столе; $T_1$ -- модуль силы натяжения, со стороны весящей части веревки.
Если положить $r\to 0$ то $T_1=T_2$.

Пусть $M$ -- суммарная масса вертикальной и горизонтальной части веревки -- от времени не зависит.
Уравнения Мещерского для вертикальной и горизонтальной части веревки дают ($x$ -- координата центра масс висящей части веревки; $y$ -- координата центра масс лежащей части веревки):

$$m\ddot x=mg+(u-\dot x)\dot m-T_1;\quad (M-m)\ddot y=(u-\dot y)(-\dot m)-T_2.$$

Кинематические и прочие уравнения:

$$\dot m=\rho u,\quad \dot x=u/2,\quad \dot y=-u/2.$$

Все это приводится к дифференциальному уравнению на $x$.

[Батороев]

anik в сообщении #542939 писал(а):

Горизонтальная часть верёвки обладает инерционностью, чтобы привести эту часть верёвки в движение необходима сила. Эта сила и приложена к верхней вертикальной свисающей части верёвки. Вот если бы этой силы, растягивающей верёвку не было, тогда бы свисающая часть верёвки падала бы с ускорением $g$, (как если бы свисающая часть оторвалась бы от оставшейся части верёвки). Но, горизонтальная часть верёвки "мешает" свободно падать свисающей части.

Инерционностью обладают обе части веревки, в т.ч. и в отношении инерции покоя. Но если для горизонтальной части ускорение $g$ действительно только на начальный момент (а затем будет только увеличиваться), то для вертикальной части ускорение $g$ - const. Поэтому вертикальному участку - горизонтальная часть не "мешает".

Утундрий в сообщении #542954 писал(а):

Вообще-то во первых строкАх сего обсуждения решение для шибко идеальной веревки уже как-бы приведено. Если поглядеть на него с тщанием и продифференцировать с усердием, то узрим нуль ускорения в начале сползания

Если в начальный момент скорость - нуль, ускорение - нуль, то такой начальный момент будет длиться вечность.

[anik]

Oleg Zubelevich в сообщении #543228 писал(а):

Если положить $r\to 0$ то $T_1=T_2$.

Не понял, почему так. Если мысленно разрезать верёвку в любом месте, то модули сил в сечении должны быть равны между собой, ибо сила действия равна силе противодействия.
Почему это равенство не должно соблюдаться если $r\not=0$?

[Oleg Zubelevich]

Oleg Zubelevich в сообщении #543228 писал(а):

$$m\ddot x=mg+(u-\dot x)\dot m-T_1;\quad (M-m)\ddot y=(u-\dot y)(-\dot m)-T_2.$$

в последнем уравнении, похоже, должно быть не $u$, а $-u$

[Батороев]

Как часто и бывает, истина оказалась посредине... причем, ровно посредине - между моим значением ускорения в начальный момент $a=g$ и тем $a=0$, к которому склонялся Утундрий.

Моя ошибка в решении заключалась в том, что я не учел, что разгоняемая масса не $m$, а $2m$. Исходя из этого в начальный момент имеем $a=\dfrac {g}{2}$.
Затем ускорение веревки будет линейно расти вплоть до момента покидания ею края стола, достигнув значения $g$, с коим веревка далее и полетит вниз в свободном падении.

[Oleg Zubelevich]

Батороев в сообщении #543801 писал(а):

Затем ускорение веревки будет линейно расти

если Вы имеете ввиду линейный рост по времени, то это неверно. Пока веревка соскальзывает со стола, зависимость от времени экспоненциальная

[Батороев]

Oleg Zubelevich в сообщении #543873 писал(а):

если Вы имеете ввиду линейный рост по времени, то это неверно. Пока веревка соскальзывает со стола, зависимость от времени экспоненциальная

Нет, я имел в виду линейность ускорения в зависимости от пути, пройденного веревкой по столу.

[anik]

Если бы у меня спросили, то я бы сказал, что разумнее ограничится вопросом: когда верёвка соскользнет со стола? Определить, что значит: верёвка упала на землю, по-видимому, непросто. Сложно будет рассмотреть движение верёвки как системы с множеством степеней свободы.