Задача по геометрической вероятности

[Whitaker]

Всем еще раз привет!
Испытываю трудность при решении следующей задачи и нуждаюсь в Вашей помощи.
На окружности наудачу выбраны 3 точки. Найти вероятность того, что они являются вершинами остроугольного треугольника.

Единственное что понятно так это - если у нас есть окружность и внутри нее треугольник, то треугольник будет остроугольным если центр окружности лежит внутри треугольника.

С уважением, Whitaker.

[alcoholist]

Whitaker в сообщении #542583 писал(а):

Единственное что понятно так это - если у нас есть окружность и внутри нее треугольник, то треугольник будет остроугольным если центр окружности лежит внутри треугольника.

не... если все углы меньше $\pi/2$ (а между точками -- $\pi$... т.е. не все лежат в одной полуокружности)

[Whitaker]

alcoholist
но вот для меня одна трудность возникает.
Чему равно здесь $|\Omega|$?

[ewert]

Whitaker в сообщении #542583 писал(а):

треугольник будет остроугольным если центр окружности лежит внутри треугольника.

А вот давайте по порядку. Вот кинули одну точку. Поскольку после этого её конкретное положение безразлично -- допустим, что она в крайнем низу. Какие тогда угловые отклонения от этого низа для двух следующих допустимы?...

Нарисуйте квадратик, отвечающий пространству событий для этих двух точек; напишите неравенство для углов, отвечающее искомому событию -- и вперёд.

[Whitaker]

ewert
пусть внизу взята точка A, а затем выбираем точки B и С.
Должны быть такие условия:
$\angle BCA < \dfrac{\pi}{2}, \angle ABC < \dfrac{\pi}{2}, \angle BAC < \dfrac{\pi}{2};$

[PAV]

Эта задача, я думаю, уже обсуждалась на форуме не один раз. Можно найти через поиск.

Последний раз, кстати, она фигурировала в нашем марафоне головоломок: задача 211

[Whitaker]

Спасибо PAV!
Извините, что заново создал ... просто я не знал о существовании такой темы.
ewert
еще точки $B$ и $C$ должны лежат на одной полуокружности. Правильно?

[ewert]

Чего-то многовато пипополамов. Введите два параметра -- угол отклонения от первой точки до второй и угол до третьей, оба от нуля до двух пи. Чтоб не мучиться -- достаточно считать, что вторая точка левее третьей, а потом результат удвоить.

[Whitaker]

ewert
я Вас полностью понял за исключением одного места.
Зачем нам еще результат умножать на 2. Как разница вторая точка левее третьей или правее?

[ewert]

Whitaker в сообщении #542619 писал(а):

Зачем нам еще результат умножать на 2. Как разница вторая точка левее третьей или правее?

Именно поэтому и надо умножать. Изначально обе точки независимо бросаются в промежуток от нуля до двух пи. Но считать благоприятное событие при этом не очень удобно -- там всякая возня со знаками. Гораздо приятственнее это событие располовинить, рассматривая лишь случай, огда первая точка левее второй. Ну а потом результат удвоить, конечно.

[Whitaker]

Все понятно!
Уважаемый ewert искренне благодарю Вас за помощь в решении задачи!

[number_one]

А можно ли так решить задачу?

Разделим окружность произвольным образом на две половинки. Кидаем точки $A,B,C$ на окружность.



Если все три точки $A,B,C$ принадлежат одной из полуокружностей - то треугольник будет остроугольный (если не все -- значит не будет остроугольный).

Вероятность того, что точка $A$ принадлежит оранжевой полуокружности $0,5$

Вероятность того, что все три точки принадлежат оранжевой полуокружности $1/8$

Вероятность того, что все три точки принадлежат или оранжевой, или синей полуокружности равна

$1/8+1/8=1/4$

Правильно или нет?

[--mS--]

number_one в сообщении #545376 писал(а):

Если все три точки $A,B,C$ принадлежат одной из полуокружностей - то треугольник будет остроугольный (если не все -- значит не будет остроугольный).

Правильно будет так: если все точки принадлежат одной из полуокружностей, то треугольник будет тупоугольный. Если не все - то какой угодно.

[Legioner93]

--mS-- писал(а):

number_one в сообщении #545376 писал(а):

Если все три точки $A,B,C$ принадлежат одной из полуокружностей - то треугольник будет остроугольный (если не все -- значит не будет остроугольный).

Правильно будет так: если все точки принадлежат одной из полуокружностей, то треугольник будет тупоугольный. Если не все - то какой угодно.

Если три точки не принадлежат одной полуокружности, значит все три дуги, на которые рассекает окружность треугольник, меньше $\pi$, а отсюда все три вписанных в окружность угла (они же - углы треугольника) меньше $\frac{\pi}{2}$. То есть утверждение number_one верно.
Или я ошибаюсь?

[--mS--]

Перечитайте утверждение number_one. Потом моё. Потом своё.