2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача по геометрической вероятности
Сообщение25.02.2012, 21:22 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Всем еще раз привет!
Испытываю трудность при решении следующей задачи и нуждаюсь в Вашей помощи.
На окружности наудачу выбраны 3 точки. Найти вероятность того, что они являются вершинами остроугольного треугольника.

Единственное что понятно так это - если у нас есть окружность и внутри нее треугольник, то треугольник будет остроугольным если центр окружности лежит внутри треугольника.

С уважением, Whitaker.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрической вероятности
Сообщение25.02.2012, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2487
СПб
Whitaker в сообщении #542583 писал(а):
Единственное что понятно так это - если у нас есть окружность и внутри нее треугольник, то треугольник будет остроугольным если центр окружности лежит внутри треугольника.



не... если все углы меньше $\pi/2$ (а между точками -- $\pi$... т.е. не все лежат в одной полуокружности)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрической вероятности
Сообщение25.02.2012, 21:37 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
alcoholist
но вот для меня одна трудность возникает.
Чему равно здесь $|\Omega|$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрической вероятности
Сообщение25.02.2012, 21:38 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
Whitaker в сообщении #542583 писал(а):
треугольник будет остроугольным если центр окружности лежит внутри треугольника.

А вот давайте по порядку. Вот кинули одну точку. Поскольку после этого её конкретное положение безразлично -- допустим, что она в крайнем низу. Какие тогда угловые отклонения от этого низа для двух следующих допустимы?...

Нарисуйте квадратик, отвечающий пространству событий для этих двух точек; напишите неравенство для углов, отвечающее искомому событию -- и вперёд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрической вероятности
Сообщение25.02.2012, 22:04 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
ewert
пусть внизу взята точка A, а затем выбираем точки B и С.
Должны быть такие условия:
$\angle BCA < \dfrac{\pi}{2}, \angle ABC < \dfrac{\pi}{2}, \angle BAC < \dfrac{\pi}{2};$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрической вероятности
Сообщение25.02.2012, 22:08 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Эта задача, я думаю, уже обсуждалась на форуме не один раз. Можно найти через поиск.

Последний раз, кстати, она фигурировала в нашем марафоне головоломок: задача 211

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрической вероятности
Сообщение25.02.2012, 22:14 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Спасибо PAV!
Извините, что заново создал ... просто я не знал о существовании такой темы.
ewert
еще точки $B$ и $C$ должны лежат на одной полуокружности. Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрической вероятности
Сообщение25.02.2012, 22:15 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
Чего-то многовато пипополамов. Введите два параметра -- угол отклонения от первой точки до второй и угол до третьей, оба от нуля до двух пи. Чтоб не мучиться -- достаточно считать, что вторая точка левее третьей, а потом результат удвоить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрической вероятности
Сообщение25.02.2012, 22:39 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
ewert
я Вас полностью понял за исключением одного места.
Зачем нам еще результат умножать на 2. Как разница вторая точка левее третьей или правее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрической вероятности
Сообщение25.02.2012, 22:51 
Заслуженный участник


11/05/08
31889
Whitaker в сообщении #542619 писал(а):
Зачем нам еще результат умножать на 2. Как разница вторая точка левее третьей или правее?

Именно поэтому и надо умножать. Изначально обе точки независимо бросаются в промежуток от нуля до двух пи. Но считать благоприятное событие при этом не очень удобно -- там всякая возня со знаками. Гораздо приятственнее это событие располовинить, рассматривая лишь случай, огда первая точка левее второй. Ну а потом результат удвоить, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрической вероятности
Сообщение25.02.2012, 22:58 
Аватара пользователя


12/01/11
1315
Москва
Все понятно!
Уважаемый ewert искренне благодарю Вас за помощь в решении задачи!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрической вероятности
Сообщение04.03.2012, 23:33 


23/11/11
230
А можно ли так решить задачу?

Разделим окружность произвольным образом на две половинки. Кидаем точки $A,B,C$ на окружность.

Изображение

Если все три точки $A,B,C$ принадлежат одной из полуокружностей - то треугольник будет остроугольный (если не все -- значит не будет остроугольный).

Вероятность того, что точка $A$ принадлежит оранжевой полуокружности $0,5$

Вероятность того, что все три точки принадлежат оранжевой полуокружности $1/8$

Вероятность того, что все три точки принадлежат или оранжевой, или синей полуокружности равна

$1/8+1/8=1/4$

Правильно или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрической вероятности
Сообщение05.03.2012, 06:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4121
number_one в сообщении #545376 писал(а):
Если все три точки $A,B,C$ принадлежат одной из полуокружностей - то треугольник будет остроугольный (если не все -- значит не будет остроугольный).

Правильно будет так: если все точки принадлежат одной из полуокружностей, то треугольник будет тупоугольный. Если не все - то какой угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрической вероятности
Сообщение16.02.2014, 09:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1116
--mS-- писал(а):
number_one в сообщении #545376 писал(а):
Если все три точки $A,B,C$ принадлежат одной из полуокружностей - то треугольник будет остроугольный (если не все -- значит не будет остроугольный).

Правильно будет так: если все точки принадлежат одной из полуокружностей, то треугольник будет тупоугольный. Если не все - то какой угодно.

Если три точки не принадлежат одной полуокружности, значит все три дуги, на которые рассекает окружность треугольник, меньше $\pi$, а отсюда все три вписанных в окружность угла (они же - углы треугольника) меньше $\frac{\pi}{2}$. То есть утверждение number_one верно.
Или я ошибаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрической вероятности
Сообщение16.02.2014, 16:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4121
Перечитайте утверждение number_one. Потом моё. Потом своё.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group