Вопрос про идеал

[Unconnected]

Если R - евклидово кольцо, то любой идеал в нём - главный. Кроме того, если d=НОД$(a,b)$, то $< a>_R + < b>_R =< d>_R $. Я не понимаю, во-первых, как из евклидовости следует то, что любой элемент можно представить как ab. Наверное, нужно это понять, чтобы продолжение стало понятно..

[Padawan]

Возьмите в идеале $I$ элемент $d\in I$ с наименьшим значением $\varphi (d)$ (т.к. по определеию $\varphi(x)$ целое неотрицательное для любого $x\in R$, то такой элемент найдется). Покажите, что любой элемент $a\in I$ делится на $d$ без остатка. А второе утверждение справедливо в любом кольце главных идеалов, не обязательно евклидовом.

[Unconnected]

Кстати, а то, что в кольце вообще есть идеалы - это очевидно из чего-то следует?
Определение простого идеала: $C$ - простой, если $A \cdot B \in C \to A \in C$ или $B \in C$. В чём суть определения? Во-первых, тут ИЛИ - а что, оба принадлежать не могут? Я так понимаю, что если берется идеал, включающий $C$, и который содержится в $C$, перемножаются, и если характеристика кольца ненулевая, то какие-то образующие могут уйти в ноль, произведение может оказаться в C..

[AV_77]

Unconnected в сообщении #542470 писал(а):

Кстати, а то, что в кольце вообще есть идеалы - это очевидно из чего-то следует?

По крайней мере нулевой идеал в любом кольце есть, да и само кольцо является идеалом. А других идеалов может и не быть.

Unconnected в сообщении #542470 писал(а):

Определение простого идеала: $C$ - простой, если $A \cdot B \in C \to A \in C$ или $B \in C$. В чём суть определения? Во-первых, тут ИЛИ - а что, оба принадлежать не могут?

Это аналог деления в кольце целых чисел - если $p$ - простое число и $ab$ делится на $p$, то $a$ делится на $p$ или $b$ делится на $p$. На языке идеалов то же самое $ab \in (p) \Rightarrow (a \in (p) \mbox{ или } b \in (p))$.

[Joker_vD]

Unconnected в сообщении #542470 писал(а):

Кстати, а то, что в кольце вообще есть идеалы - это очевидно из чего-то следует?

Из наличия в кольце элементов. Главные идеалы, ага.

Unconnected в сообщении #542470 писал(а):

В чём суть определения?

В том, что в простой идеал $\mathfrak p$ невозможно "вломиться с улицы": если $a\notin\mathfrak p,\,b\notin\mathfrak p$, то и $ab\notin\mathfrak p$.

Unconnected в сообщении #542470 писал(а):

Я так понимаю, что если берется идеал, включающий $C$, и который содержится в $C$

Идеал, и содержащий $C$, и содержащийся в $C$ — это сам $C$. И у вас же написано: "$A\cdot B\inC$" — произведение элементов $A$ и $B$ приадленжит идеалу $C$. Откуда вы еще идеалов настругали?

[Unconnected]

Цитата:

В том, что в простой идеал $\mathfrak p$ невозможно "вломиться с улицы": если $a\notin\mathfrak p,\,b\notin\mathfrak p$, то и $ab\notin\mathfrak p$.

Таак.. а вообще, как можно вломиться с улицы, за счёт ненулевой характеристики (и ухода произведения в ноль)?

И если $a\in\mathfrak p,\,b\notin\mathfrak p$, то и $ab\in\mathfrak p$, то вламывайтесь на здоровье? Один из множителей тоже с улицы ведь..

[AV_77]

Unconnected в сообщении #542485 писал(а):

И если $a\in\mathfrak p,\,b\notin\mathfrak p$, то и $ab\in\mathfrak p$, то вламывайтесь на здоровье? Один из множителей тоже с улицы ведь..

Его друг привел.

[Unconnected]

Вроде придумал объяснение.. если один идеал принадлежит, а второй нет - второй-то это по сути элементы кольца, и произведение будет принадлежать идеалу..

[Joker_vD]

Unconnected в сообщении #542485 писал(а):

Таак.. а вообще, как можно вломиться с улицы, за счёт ненулевой характеристики (и ухода произведения в ноль)?

Причем здесь вообще ненулевая характеристика? Возьмите $\mathbb Z$, $\mathrm{char}\, \mathbb Z=0$, теперь перемножьте два и два — получите, что $2\notin(4)$, но $2\cdot2=4\in(4)$.

-- Сб фев 25, 2012 18:58:50 --

Unconnected в сообщении #542493 писал(а):

если один идеал принадлежит,

Чему идеал принадлежит? Идеал — это (под)множество кольца. Чему оно принадлежит?

[Unconnected]

Вообще, умножение идеалов - это по сути всевозможные линейные комбинации из векторов одного множителя с коэффициентами из второго. И тут, получается, в произведении какие-то "простые" элементы, которые.. которые могут получиться лишь линейной комбинацией из подобных же "простых". Такая трактовка верна?

[Joker_vD]

Unconnected
Причем тут, черт возьми, умножение идеалов? Есть учебники, в которых "простые идеалы" вводятся на третьей странице, а "произведение идеалов" — где-то в середине. Если произведение двух элементов кольца принадлежит простому идеалу, то какой-то из этих элементов обязан принадлежать этому идеалу. Причем тут умножение идеалов?

[Unconnected]

какого-такого кольца элементы!!!

Или тут опечатка? На страницу ранее вводилось произведение идеалов.

Ну в общем-то, учитывая другое определение просто идеала, это тоже верное: произведение идеалов это суммы произведений, где, получается, один элемент должен принадлежать произведению.. следовательно, один множитель-идеал тоже принадлежит.

[Joker_vD]

... Ни фига себе у вас шутник читает курс. Простой идеал вводится либо как я указал, либо как идеал, фактор по которому даст область целостности. Но так, конечно, тоже можно ввести, и такое определение будет эквивалентно...

Слушайте, вам лектор давал список литературы? Охота увидеть, откуда он вытянул такого монстра — я сейчас штук шесть учебников просмотрел — никто так простой идеал не определяет.

[Unconnected]

Он категорически не рекомендовал, насколько помню, до какого-то там курса читать литературу: мол, студенты слишком превратно её понимают (ага! А я тут полгода представляю, как плаавно они умножаааются...). Без определения для двух элементов понять как-то сложно.

Сам придумал, короче)

Тогда, что насчёт

Цитата:

Вообще, умножение идеалов - это по сути всевозможные линейные комбинации из векторов одного множителя с коэффициентами из второго. И тут, получается, в произведении какие-то "простые" элементы, которые.. которые могут получиться лишь линейной комбинацией из подобных же "простых". Такая трактовка верна?

? И ещё, могут же оба идеала принадлежать произведению (а не один)? По-моему, могут..

[Joker_vD]

Unconnected в сообщении #542652 писал(а):

И ещё, могут же оба идеала принадлежать произведению (а не один)? По-моему, могут..

Могут, могут: $(6)\cdot(10)=(60)\subset(2)$, и $(6)\subset(2),\,(10)\subset(2)$.

Вообще, произведение идеалов — довольно неудобная операция; стараются, как правило, работать с пересечениями. Более того, в теории идеалов степени простых идеалов так же не играют большой роли, в отличии от степеней простых чисел в теории чисел (там раскладывают любое число в их произведение). Вместо степеней простых идеалов и произведения используются т.н. примарные идеалы и пересечения. И в теории идеалов изучают, как разложить произвольный идеал в пересечение примарных. Ну ладно, это лирика, да и не используют уже сейчас такие разложения, техника локализации оказалась удобнее и мощней.

Так что зачем ваш лектор вводил простой идеал именно так — мне неясно. Никаких удобств от этого нет, а понимание сильно страдает.