Задача о слабой и сильной сходимости (в Банаховом пространст

[Мироника]

Помогите, пожалуйста, доказать, что если $Af_n$ слабо сходится к $Af$ и подпоследовательность $Af_n_k$ сильно сходится к $Af^*$, то $Af_n$ сильно сходится к $Af$ и $f$ совпадает с $f^*$. (Здесь $A$- линейный оператор, а $f_n$- некая последовательность). Я так понимаю, что последовательность сходится слабо, если сходится функционал от этой последовательности. Но что дальше? Как связать это с подпоследовательностью?

[RIP]

Последовательность $\{x_n\}$ векторов некоторого нормированного пространства $X$ слабо сходится к элементу $x\in X$, если для любого непрерывного линейного функционала $\varphi\in X^*$ верно $\varphi(x_n)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\varphi(x)$.

Уточните, какое пространство имеется в виду в задаче. Например, утверждение неверно в $l^2$.

Кроме того, ни в каком пространстве нельзя утверждать, что $f=f^*$. Достаточно взять $A=0$ (нулевой оператор.)

[Мироника]

Речь идет о Банаховом пространстве.
Нулевой оператор во внимание не берем.
Надо, мне кажется, как-то отталкиваться от сильной сходимости ПОДпоследовательности?

[RIP]

Во-первых, $l^2$ банахово.
Во-вторых, утверждение (если выкинуть $f=f^*$) верно только для таких пространств, в которых понятия сильной и слабой сходимости совпадают. Но для таких пространств утверждение очевидно.
В третьих, достаточно взять любой оператор с нетривиальным ядром, чтобы убедиться, что необязательно $f=f^*$.

Добавлено спустя 3 минуты 34 секунды:

Короче, проверьте условие задачи.

[Мироника]

Получается: в произвольном Банаховом пространстве нельзя утверждать, что из слабой сходимости $Af_n$ и сильной сходимости подпоследовательности $Af_n_k$ следует сильная сходимость для $Af_n$?

[RIP]

Получается. Сами судите, берем последовательность $\{x_n\}$, которая слабо сходится к $x$, но не сходится сильно. Теперь рассмотрите последовательность $x_1,x,x_2,x,x_3,x,\ldots$.

[Мироника]

Что же делать?!
Научный руководитель представил это как элементарную задачу по линейному функциональному анализу. Может что-то упущено в условии?

[RIP]

Мироника писал(а):

Может что-то упущено в условии?

Вот и я о том же.

[Мироника]

Большое спасибо!
Буду думать! Надо же как-то "выкручиваться".

[PAV]

Можно только сказать, что эта самая подпоследовательность, которая сходится сильно, сходится и слабо. Но так как слабый предел единственен, но эти два предела совпадают.

Приведите руководителю пример RIP-а.

[Мироника]

Но ведь не у каждой слабо сходящейся последовательности есть подпоследовательность, которая сходится сильно? А если такая подпоследовательность есть, то какой можно сделать вывод?

[RIP]

Мироника писал(а):

Но ведь не у каждой слабо сходящейся последовательности есть подпоследовательность, которая сходится сильно? А если такая подпоследовательность есть, то какой можно сделать вывод?

Вывод можно сделать только один: что есть подпоследовательность, которая сходится (сильно).

[Мироника]

И о поведении самой последовательности никакого вывода сделать нельзя?

[Dan_Te]

Я вот думаю, в исходном условии задачи нигде $\forall A$ не пропущено?

[RIP]

Нельзя. Я же приводил пример.