Собственные числа плохо обусловенной матрицы.

[Prog]

Здравствуйте. Ищу в MathCad собственные числа для матриц с числом обусловленности в два норме порядка $10^{14} \ldots 10^{16}$. Это необходимо для технического приложения, и с физической точки зрения получается, кажется, неверный результат. Можно как-нибудь это проверить? Матрицы размером 8х8 и больше, ручные расчеты были бы довольно рутинны.

[Евгений Машеров]

А что Вы хотите? Перепроверить для Вашей матрицы, или найти матрицу с известными с.ч. для проверки правильности метода?

[Prog]

Евгений Машеров в сообщении #542113 писал(а):

А что Вы хотите? Перепроверить для Вашей матрицы, или найти матрицу с известными с.ч. для проверки правильности метода?

Перепроверить. Я знаю только примерный порядок чисел, которые должны получиться.

[Евгений Машеров]

А подставить и попытаться проверить, действительно ли матрица $A-\lambda I$ вырождена?

[Prog]

Евгений Машеров в сообщении #542118 писал(а):

А подставить и попытаться проверить, действительно ли матрица $A-\lambda I$ вырождена?

Проверил, получается, например, такой определитель $1.074 \times 10^{15} + 6.871i \times 10^{15}$ .
Теперь возникает другой вопрос, а есть ли какие-нибудь точные методы для вычисления собственных чисел и векторов плохо обусловленных матриц?

[Евгений Машеров]

Всю жизнь полагал, что всякого рода QR прекрасно работают... Во всяком случае, размерность 8х8 и раз в 10-20 больше прекрасно берёт. Или старый добрый Якоби.
Вообще, два вопроса:
1. Что можно сказать о матрице?
2. Что вызывает сомнения?

[Prog]

Евгений Машеров в сообщении #542143 писал(а):

Всю жизнь полагал, что всякого рода QR прекрасно работают... Во всяком случае, размерность 8х8 и раз в 10-20 больше прекрасно берёт. Или старый добрый Якоби.
Вообще, два вопроса:
1. Что можно сказать о матрице?
2. Что вызывает сомнения?

Дело в том, что только начал работать с собственными числами и векторами, до этого не встречался с ними никогда,и не припомню, чтобы в курсе ВМ нам их давали. Действительно не посмотрел сразу, матрица $A$ вырожденная, но вот к чему это приводит не знаю. QR алгоритмы работают для этих матриц или нет?

[Евгений Машеров]

А, допустим, действительная она, симметричная, или ещё что можно сказать?
QR вполне себе работают. И многие другие.
Сложность тут может быть в том, что при наличной точности вычислений, работая с разбросанными в большом диапазоне числами, получаем даже при малой относительной погрешности большую абсолютную. Не знаю, какая точность "внутри" Маткада.
Но точно ли Вам нужны минимальные с.з.? И с какой точностью?

[Prog]

Евгений Машеров в сообщении #542152 писал(а):

А, допустим, действительная она, симметричная, или ещё что можно сказать?

Матрица действительная. Не знаю как называется такой вид матрицы: если повернуть верхнетреугольную часть матрицы, то она будет равна нижнетреугольной.

Евгений Машеров в сообщении #542152 писал(а):

Сложность тут может быть в том, что при наличной точности вычислений, работая с разбросанными в большом диапазоне числами, получаем даже при малой относительной погрешности большую абсолютную. Не знаю, какая точность "внутри" Маткада.

Да маткад в этом случае плохо работает, если, например, требуется решить СЛАУ, то при использовании метода Гаусса, ошибки при большом росте модулей чисел в процессе вычисления накапливаются. Наверное при вычислении собственных чисел происходит тоже самое. В Help'e Маткада написано, что для вычисления собственных векторов используется инверсный итерационный алгоритм.

Евгений Машеров в сообщении #542152 писал(а):

Но точно ли Вам нужны минимальные с.з.? И с какой точностью?

Мне нужны как раз максимальные с.з., точнее сказать одно максимальное. Максимальное с.з. должно иметь в случае матрицы 8х8 порядок $10^2$. Сейчас же получается значение на порядок ниже.

В целом я понял, что при численном решении, видимо, в случае таких матриц,нужно использовать специальные алгоритмы. Поищу литературу, буду изучать. А может и готовые алгоритмы удастся найти. Спасибо.

[Евгений Машеров]

Если под если повернуть верхнетреугольную часть матрицы, то она будет равна нижнетреугольной. понимается $a_{i,j}=a_{j,i}$, то она симметрична. У неё все с.з. действительные.
Для нахождения единственного максимального с.з. можно использовать метод прямых итераций.
Берём произвольный вектор x, умножаем его на матрицу А, нормируем (в силу произвольности нормировки собственных векторов можно на равенство единице максимального элемента, т.е. просто делим все на максимальный; если все положительны - можно на сумму элементов; наиболее "кошерно-математический" - нормировать в норме $L_2$), затем полученный умножаем на А и так, пока не сойдётся. Для 8х8 сам, бывало, руками считал. Но уже ленив, и если дадут 8х8 матрицу - буду в Excel'е считать.
Искомое собственное число - коэффициент нормировки, собственный вектор - то, к чему сошлось.

[Prog]

Евгений Машеров в сообщении #542166 писал(а):

Если под если повернуть верхнетреугольную часть матрицы, то она будет равна нижнетреугольной. понимается $a_{i,j}=a_{j,i}$, то она симметрична.

Не совсем так $a_{i,j}=a_{(N+1-i),(N+1-j)}$

[Евгений Машеров]

Это называется "персимметричная". Но я не знаю для неё существенных для данной задачи свойств.
Хотя есть основания думать, что прямые итерации с поиском максимального с.з. вполне справятся.