Минимальное значение функции

[Бор]

Помогите пожалуйста найти наименьшее значение функции
(извините, скоро тегом научусь пользоваться)

y=(2x^2+x+1)/(3x^2-x+2)

[ИСН]

Находим производную и вперёд.

[Мироника]

Необходимо исследовать функцию на монотонность с помощью первой производной, найти максимум и минимум, так же найти асимптоты и наименьшее значение станет очевидным

[Lion]

Из всего того, что Вы перечислили, требовалось только найти минимум. Все остальное можно не делать.

[Бор]

Производную я бы и сам нашел. Дело в том, что функция начиная, не помню с какого значения, убывает до +бескон, при этом стремится к какому то определенному значению. Если хотите график постройте. Как такое решить аналитически я не знаю.

[e2e4]

Цитата:

Дело в том, что функция начиная, не помню с какого значения, убывает до +бескон

Это не так.

Первое - найдите с помощью пороизводной минимум функции.
Второе - найдите с помощью нее же значение, к которому значение функции стремится, при x->+бесконечности. Сравните два этих числа. Найдите наименьшее. Это и будет наименьшее значение Вашей функции.

[Dan_Te]

e2e4 писал(а):

Первое - найдите с помощью пороизводной минимум функции.

Точнее, все локальные минимумы.

e2e4 писал(а):

Это и будет наименьшее значение Вашей функции.

Неправильно.
Если второе число (предел на бесконечности) будет меньше первого, и при этом само значение предела не достигается, то это будет означать, что функция не имеет минимума, а только инфимум.

[Brukvalub]

Приравняйте функцию к числу а, умножьте обе части на знаменатель дроби, напишите условие не отрицательности дискриминанта получившегося квадратного уравнения и решите получившееся из этого условия неравенства-наименьшее из решений и будет ответом. И не нужно Вам никакой производной!

[Бор]

e2e4 писал(а):

Второе - найдите с помощью нее же значение, к которому значение функции стремится, при x->+бесконечности.

Я то и спрашиваю, как?

[RIP]

Бор писал(а):

e2e4 писал(а):

Второе - найдите с помощью нее же значение, к которому значение функции стремится, при x->+бесконечности.

Я то и спрашиваю, как?

Запишите функцию в виде

$$y=\frac{2+\frac1x+\frac1{x^2}}{3-\frac1x+\frac2{x^2}}$$

[Dan_Te]

Бор писал(а):

Я то и спрашиваю, как?

Нет, с помощью производной предел искать не надо.

Вообще, действительно, воспользуйтесь советом Brukvalub'а. Самое простое, что может быть.

[Бор]

RIP писал(а):

Запишите функцию в виде ...

Записал. Что дальше делать - не знаю.

Brukvalub писал(а):

Приравняйте функцию к числу а, умножьте обе части на знаменатель дроби, напишите условие не отрицательности дискриминанта получившегося квадратного уравнения и решите получившееся из этого условия неравенства-наименьшее из решений и будет ответом. И не нужно Вам никакой производной!

Dan_Te писал(а):

Нет, с помощью производной предел искать не надо.
Вообще, действительно, воспользуйтесь советом Brukvalub'а. Самое простое, что может быть.

У меня ничего не получилось. Попробуйте, пожалуйста, сами и, если можно, обоснуйте принцип решения.

[Lion]

Обосновываю. Положим $\frac{2x^2+x+1}{3x^2-x+2}=a$. Домножим обе части на знаменатель и рассмотрим то, что получится, как квадратное уравнение относительно $x$. Оно будет иметь решения только тогда, когда дискриминант неотрицателен. Вычисляя его, получаем квадратное неравенство на а. Решая его, находим минимальное а. Оно и будет искомым минимальным значением функции.

[Бор]

Lion. Я понимаю, что вы мне пытаетесь это объснить, но если честно, то я все равно не понял при чем тут дискриминант и значение функции. Если вас не затруднит, решите его вашим методом и скажите свой ответ, а то я чего-то сомневаюсь в таком решении. А возможно до меня еще просто не дошло ...

[RIP]

Бор
Вам надо найти, при каких $a$ уравнение $\frac{2x^2+x+1}{3x^2-x+2}=a$ имеет решение. Наименьшее из таких $a$ (если такое существует) и будет наим. значением нашей функции. Уравнение можно переписать в виде

$$\left\{\begin{matrix}2x^2+x+1=a(3x^2-x+2);\\3x^2-x+2\ne0.\end{matrix}\right.$$

Это равносильно уравнению $2x^2+x+1=a(3x^2-x+2)$, вообще говоря, квадратному относительно $x$. Осталось найти, при каких $a$ у него будут корни.