Множества меры 0, лебеговская мера их подмножеств

[xmaister]

Как доказать, что всякой подмножество множества лебеговской меры нуль в $\mathbb{R}^n$ также имеет лебеговскую меру нуль?

[PAV]

А что означает, что множество имеет меру нуль?

[xmaister]

Значит оно измеримо по Лебегу и $\mu^*(A)=0$.

[_hum_]

xmaister в сообщении #541707 писал(а):

Как доказать, что всякой подмножество множества лебеговской меры нуль в $\mathbb{R}^n$ также имеет лебеговскую меру нуль?

Наверное, все же имелось в виду доказать, что всякое подмножество множество меры нуль измеримо по Лебегу (ибо отсюда автоматом по монотонности вытекает его нулевая мера).

[xmaister]

_hum_, как это доказать? Подскажите.

[a_nn]

Это называется полнота меры.
Она сама получается при построении меры Лебега.

[xmaister]

a_nn, так почему всякое подмножество множества меру нуль измеримо? У Богачева написано, что это ясно из определения внешней меры, но мне не ясно.

[_hum_]

Монотонность внешней меры?

(Вообще, зависит от того, какую конструкцию вы используете для определения лебеговских множеств. Если через внешнюю и внутреннюю меры, то монотонность внешней меры должна помочь)

[ewert]

xmaister в сообщении #541710 писал(а):

Значит оно измеримо по Лебегу и $\mu^*(A)=0$.

Это избыточно -- из нулёвости внешней меры уже следует измеримость по Лебегу (просто по определению меры Лебега). И теперь осталось лишь подумать: что можно сказать про взаимоотношения внешней меры чего-то и любого его подмножества?...

[a_nn]

(Это относится не только к мере Лебега, но и ко всем мерам, построенным по Каратеодори.)
Измеримыми считаются множества А, удовлетворяющие условию$\forall E \;m(E)=m(EA)+m(E\setminus A)$.
Отсюда все следует.

[xmaister]

То что внешняя мера подмножества 0, это понятно. Почему всякое подмножество будет измеримо? Определение измеримости даётся такое: рассматривается возрастающая последовательность кубов $I_k$ и говорится, что множество $E$ измеримо по Лебегу в $\mathbb{R}^n$, если $E\cap I_k$ принадлежит сигма-алгебре $\mu$- измеримых подмножеств в $I_k$ для любого $k$.

[a_nn]

А что такое $\mu$?

[xmaister]

$\mu$ в $I_k$ задана на алгебре всех конечных объединений параллелепипедов из $I_k$. $\mu$- объем параллелепипеда, являющегося прямым произведением промежутков из $[-k,k]$.

[ewert]

Не забывайте, что пустое множество (ну или хоть отдельная точка) -- это тоже параллелепипед.

[Nemiroff]

Любое множество, имеющее верхнюю меру нуль измеримо. Просто по определению измеримости.
Берем определение http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0% ... 0%B2%D0%BE
Вместо $B$ кладем пустое множество или что-нибудь подобное.