2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Система с параметром
Сообщение20.02.2012, 16:56 
Нужно найти все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение
$${x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16$
$\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 12} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {y^2}}  = \sqrt {{a^2} + 144} $

Первое уравнение-окружность. Второе, обычно, это сумма расстояний от точки Х;У до точек с данными координатами. Но тут параметр и я не могу сообразить, как быть. Подскажите пожалуйста.

 
 
 
 Re: Система с параметром
Сообщение20.02.2012, 17:09 
Аватара пользователя
Twidobik писал(а):
Второе, обычно, это сумма расстояний от точки Х;У до точек с данными координатами.Подскажите пожалуйста.
Множество точек $A$, таких, что $|AF_1|+|AF_2|=\operatorname{const}$ -- это эллипс с фокусами $F_1$ и $F_2$. Помните, как эллипс рисуют с помощью ниточки? Константа в правой части -- длина той ниточки.

 
 
 
 Re: Система с параметром
Сообщение20.02.2012, 17:13 
Вы почти всё сделали!

Правильно заметили, что первое уравнение задаёт окружность; и что левая часть второго уравнения это сумма расстояний от точки $(x,\ y)$ до двух точек; просмотрели только, что правая часть второго уравнения это расстояние между этими точками, и, следовательно, второе уравнение задаёт… (какую фигуру?)

Остаётся определить, при каких значениях параметра эта фигура имеет единственную общую точку с окружностью.

 
 
 
 Re: Система с параметром
Сообщение20.02.2012, 17:43 
Аватара пользователя
Да, внимательнее надо быть. :oops:

 
 
 
 Re: Система с параметром
Сообщение20.02.2012, 18:12 
А условие написано правильно? Может быть в одном из уравнений $x$ и $y$ нужно поменять местами?

В обоих случаях (и в исходной формулировке, и после перестановки переменных в одном из уравнений) задача легко решается (даже устно). Но во втором варианте она (на мой взгляд) становится заметно содержательнее. Кроме того, во втором варианте числа "4" и "12" в условии выглядят более естественно.

 
 
 
 Re: Система с параметром
Сообщение20.02.2012, 19:38 
hippie, нет-нет, условие верное.
Вообщем, второе уравнение-это эллипс и его нужно схематично изобразить.
Но я в 11 классе и эллипс мы не проходили, хотя вот такие задания в ЕГЭ будут. Посмотрел в интернете, нигде не нашел, где бы объяснялось, как строить эллипс именно с такого вида. Не могли бы Вы посоветовать какой-нибудь сайт, где бы это разъяснялось?
.

 
 
 
 Re: Система с параметром
Сообщение20.02.2012, 19:43 
Аватара пользователя
Первый корень - это расстояние от (x,y) до какой точки?
А второй до какой?

-- Пн, 2012-02-20, 20:44 --

(не надо сайт. не надо строить. эллипс, конечно, есть, но эллипс тоже не надо.)

 
 
 
 Re: Система с параметром
Сообщение20.02.2012, 19:47 
Вроди до (0;12) и (а;0)

 
 
 
 Re: Система с параметром
Сообщение20.02.2012, 19:57 
Аватара пользователя
Ага, верно.
Следующий шаг трудно объяснить...
...разве что так. Верчу я в руках эти две точки, не знаю, что делать. Думаю: дай-ка найду расстояние между ними. Просто так, низачем. А?

 
 
 
 Re: Система с параметром
Сообщение20.02.2012, 20:03 
Расстояние между этими точками есть правая часть второго уравнения, насколько я понимаю. А точка Х;У лежит на этой линии. Это я представляю.
Дальше никак не пойму, как связать эту линию с окружностью и найти параметр.

 
 
 
 Re: Система с параметром
Сообщение20.02.2012, 20:06 
Аватара пользователя
Twidobik в сообщении #540993 писал(а):
А точка Х;У лежит на этой линии.

Я так понял, эллипс более не занимает Ваши мысли? Вот и хорошо. А уж пересечение прямой с окружностью в школе вроде было. Или нет?

 
 
 
 Re: Система с параметром
Сообщение20.02.2012, 20:12 
Да нет, теперь у меня есть огромное желание понять, как все таки строить этот эллипс по тому уравнению. Буду думать.
А на счет прямой. Чтобы было одно решение, прямая должная касаться окружности. Так как первая точка (0;12), то это возможно в двух случаях: если прямая и есть ось Х, либо если прямая касается еще в одной точке выше.
Но ведь вторая точка, через которую проходит прямая, с параметром, расстояние с параметром и плюс еще на этой прямой какая-то точка (Х;У). Вот как это связать, мне никак не дойдет :-(

 
 
 
 Re: Система с параметром
Сообщение20.02.2012, 20:19 
Аватара пользователя
Как и зачем Вы хотите строить эллипс, если мы уже выяснили, что он здесь не нужен?

 
 
 
 Re: Система с параметром
Сообщение20.02.2012, 20:27 
Ну понимаете, мне нравится математика и построить этот эллипс интересно для себя.
А что по поводу прямой? Я прав или нет?

 
 
 
 Re: Система с параметром
Сообщение20.02.2012, 21:02 
Аватара пользователя
Какой "этот эллипс"? В точности вот этот, который задан вторым уравнением? Его Вы уже построили:
Twidobik в сообщении #540993 писал(а):
А точка Х;У лежит на этой линии.

 
 
 [ Сообщений: 53 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group