Система с параметром

[Twidobik]

Нужно найти все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение
$${x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16$
$\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 12} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {{a^2} + 144} $

Первое уравнение-окружность. Второе, обычно, это сумма расстояний от точки Х;У до точек с данными координатами. Но тут параметр и я не могу сообразить, как быть. Подскажите пожалуйста.

[svv]

Twidobik писал(а):

Второе, обычно, это сумма расстояний от точки Х;У до точек с данными координатами.Подскажите пожалуйста.

Множество точек $A$, таких, что $|AF_1|+|AF_2|=\operatorname{const}$ -- это эллипс с фокусами $F_1$ и $F_2$. Помните, как эллипс рисуют с помощью ниточки? Константа в правой части -- длина той ниточки.

[hippie]

Вы почти всё сделали!

Правильно заметили, что первое уравнение задаёт окружность; и что левая часть второго уравнения это сумма расстояний от точки $(x,\ y)$ до двух точек; просмотрели только, что правая часть второго уравнения это расстояние между этими точками, и, следовательно, второе уравнение задаёт… (какую фигуру?)

Остаётся определить, при каких значениях параметра эта фигура имеет единственную общую точку с окружностью.

[svv]

Да, внимательнее надо быть.

[hippie]

А условие написано правильно? Может быть в одном из уравнений $x$ и $y$ нужно поменять местами?

В обоих случаях (и в исходной формулировке, и после перестановки переменных в одном из уравнений) задача легко решается (даже устно). Но во втором варианте она (на мой взгляд) становится заметно содержательнее. Кроме того, во втором варианте числа "4" и "12" в условии выглядят более естественно.

[Twidobik]

hippie, нет-нет, условие верное.
Вообщем, второе уравнение-это эллипс и его нужно схематично изобразить.
Но я в 11 классе и эллипс мы не проходили, хотя вот такие задания в ЕГЭ будут. Посмотрел в интернете, нигде не нашел, где бы объяснялось, как строить эллипс именно с такого вида. Не могли бы Вы посоветовать какой-нибудь сайт, где бы это разъяснялось?
.

[ИСН]

Первый корень - это расстояние от (x,y) до какой точки?
А второй до какой?

-- Пн, 2012-02-20, 20:44 --

(не надо сайт. не надо строить. эллипс, конечно, есть, но эллипс тоже не надо.)

[Twidobik]

Вроди до (0;12) и (а;0)

[ИСН]

Ага, верно.
Следующий шаг трудно объяснить...
...разве что так. Верчу я в руках эти две точки, не знаю, что делать. Думаю: дай-ка найду расстояние между ними. Просто так, низачем. А?

[Twidobik]

Расстояние между этими точками есть правая часть второго уравнения, насколько я понимаю. А точка Х;У лежит на этой линии. Это я представляю.
Дальше никак не пойму, как связать эту линию с окружностью и найти параметр.

[ИСН]

Twidobik в сообщении #540993 писал(а):

А точка Х;У лежит на этой линии.

Я так понял, эллипс более не занимает Ваши мысли? Вот и хорошо. А уж пересечение прямой с окружностью в школе вроде было. Или нет?

[Twidobik]

Да нет, теперь у меня есть огромное желание понять, как все таки строить этот эллипс по тому уравнению. Буду думать.
А на счет прямой. Чтобы было одно решение, прямая должная касаться окружности. Так как первая точка (0;12), то это возможно в двух случаях: если прямая и есть ось Х, либо если прямая касается еще в одной точке выше.
Но ведь вторая точка, через которую проходит прямая, с параметром, расстояние с параметром и плюс еще на этой прямой какая-то точка (Х;У). Вот как это связать, мне никак не дойдет

[ИСН]

Как и зачем Вы хотите строить эллипс, если мы уже выяснили, что он здесь не нужен?

[Twidobik]

Ну понимаете, мне нравится математика и построить этот эллипс интересно для себя.
А что по поводу прямой? Я прав или нет?

[ИСН]

Какой "этот эллипс"? В точности вот этот, который задан вторым уравнением? Его Вы уже построили:

Twidobik в сообщении #540993 писал(а):

А точка Х;У лежит на этой линии.