Разложение матрицы

[Joker_vD]

Unconnected в сообщении #536204 писал(а):

А что значит к треугольному?

То и значит. После прямого хода метода Гаусса у вас будут столбцы сплошь из нулей — их надо переставить в конец. А. Ну да, не треугольному, а

Unconnected в сообщении #536204 писал(а):

чтобы кусок матрицы был треугольной матрицей, и её окаймляли нули

У меня просто привычка называть такой вид тоже треугольным, благо ничего особенно страшного от этого не происходит. Извините за путаницу.

Unconnected в сообщении #536204 писал(а):

Тут такое чудо ещё: чтобы найти обратную матрицу, пишем исходную, рядом справа единичную, и ЭП-ми надо добиться, чтобы единичная стала слева, а справа внезапно появится обратная. И без обоснований.. что это за приём вообще приписывания справа?

Решение матричного уравнения $AX=B$ равносильно решение набора СЛАУ $AX^i=B^i$, где $X^i,B^i$ — столбцы матриц $X,B$. Но их можно решать все одновременно, именно как у вас указано. Вообще, этот вопрос внятно расписан, например, тут: http://joker150491.narod.ru/Kryakvin_V. ... zadach.pdf , страницы 22 и 25 (Кстати, и в целом очень неплохой задачник с отличным теорминимумом).

[Unconnected]

А причём тут СЛАУ вообще? Я понимаю, что это как бы расширенная матрица получилась, когда справа приписали - но какая связь с обратной матрицей?

[Joker_vD]

Unconnected
Я даже не буду отвечать на этот вопрос, пока вы не отоспитесь ночью, не придете и не перечитаете тему на свежую голову. Потому что ответ настолько очевиден, да вы к тому же сами приводили выражение, которое кричит: "Я матричное уравнение! Реши меня и будет тебе $A^{-1}$!"

[Unconnected]

Ой, да.. отоспался и сразу всё понятно-)

Мне вот ещё очень интересен смысл этого K, размерности единичной матрицы, с помощью которой представляется любая другая. Ведь разнообразных матриц бесконечно много (по составу), на всех значений K не напасёшься.. и чему её размерность равна, исходной ведь? Значит, окаймление нулями неравномерное..
Была отчаянная мысль, что бесконечно много матриц с вообще разным составом будут иметь одинаковую "треугольную" матрицу, так как например их строки лежат в одном пространстве (а "треугольный" вид показывает нам количество базисов, обозначая их единицами?).

[Joker_vD]

Вы слышали что-нибудь про "ранг матрицы"?

[Unconnected]

А. Ну да, как я и подозревал) Очередной стереотип сломался ( ой, их так много, как же они все тут будут бедные..)). Спасибо!)

[Unconnected]

Можете объяснить, в чём смысл характеристического многочлена и собственных чисел-его корней ( и векторов собственных)?
Должен существовать вектор X: $AX=\alpha\cdotX$. В чём смысл равенства, что получается слева при умножении векторов на какой-то один?

-- 08.02.2012, 15:19 --

А, вроде понял. Это то же самое, что собственный вектор лежит в том же пространстве, но выражен в другом базисе, а матрица A - матрица перехода. Умножааем, и получаем координаты вектора в другом базисе.. а из равенства следует, что эти векторы в разных базисах.. ой, а что с длиной-то происходит, когда базис меняется? Вроде ничего не должно происходить..

[bot]

Unconnected в сообщении #536343 писал(а):

ой, а что с длиной-то происходит, когда базис меняется? Вроде ничего не должно происходить..

А этот вопрос в контексте собственных векторов никого и не интересует. Не интересует до такой степени, что и длины в этом векторном пространстве нету - аффинным его называют, чтобы подчеркнуть, что рассматривается круг вопросов, для которых понятие длины вообще не нужно.
Ну а если изменяем базис в евклидовом пространстве, то как это длины не меняется? Даже если мы все и некоторые базисные векторы на 10 помножим?

[Unconnected]

Ну вот взять пример на плоскости.. есть базис из векторов единичной длины, и вектор, выраженный в них: растягиваем-крутим базис, наблюдаемый вектор не меняется (меняются его координаты). Вот допустим повернули базис на 45 градусов, можете показать какие-нибудь собственные векторы?

[Joker_vD]

Unconnected в сообщении #536376 писал(а):

какие-нибудь собственные векторы?

Чьи именно?

[Unconnected]

Вообще по идее линейного оператора, который отображает базис в повёрнутый базис. Но в конспекте моём, кстати, оператор вообще не фигурирует, просто матрица.. (что очень упрощает понимание, дорогой лектор ).

[bot]

A какие корни даёт характеристическое уравнение? Испугались, что они комплексные? А никто и не гарантировал, что они вещественными будут, соответственно и собственные векторы тоже лежат в пространстве над полем $\mathbb C$.

[Unconnected]

Как доказать, что характеристический многочлен матрицы равен характеристическому многочлену транспонированной матрицы?

[bot]

А что такое характеристический многочлен и что происходит с определителем при транспонировании матрицы?

[Unconnected]

А, понял.. и ещё, вот любую матрицу можно представить как заполненную нулями, и только на диагонали (если не квадратная матрица, то элементы с одинаковыми координатами) до определённого момента единицы повстречаются; количество таких "ненулевых" строк будет равно рангу матрицы. Это образующие пространства строк\столбцов (если столбцы рассматривать так). Правильно ли понимаю, что если матрица квадратная, то верно, что пространство строк совпадает с пространством столбцов (потому что якобы образующие одинаковые, если рассматривать их как элементы $R^n$). (И, соответственно, пространства не равны, если не квадратная..)